Лекция 8 Определение оптимального местоположения опорного узла в кабельной сети абонентского доступа

Рассмотрим следующую задачу. Пусть граф G(N,V) представляет собой некоторую кабельную сеть, соединяющуюnабонентских пунктов. Вес каждого ребра (i, j), принадлежащегоV,соответствует длинеl_ijлибо стоимости кабеля, соединяющего пунктыi иj.Необходимо определить некоторую вершинуm, принадлежащуюN, в которой целесообразно разместить узел коммутации (например, районную АТС) с точки зрения минимизации общей длины кабеля, соединяющего абонентские пункты с УК.

Решением поставленной задачи является определение медианы графа G(N,V).

О п р е д е л е н и е. Вершина m, принадлежащая N, есть медиана графа G(N, V), если она удовлетворяет условию

Величина называетсямедианной длинойграфаGи представляет собой наименьшую суммарную длину ребер, соединяющих вершинуmс остальными вершинами графа.

Алгоритм определения медианы графа G включает следующие шаги.

Шаг1. В исходной матрице весовL = [l_ij],соответствующей длинам ребер, найти сумму элементов для каждой строки:

Шаг2. Среди множества значений {R_i} отыскать минимальноеR_m. Вершинаmи есть медиана графаG.

Определение оптимального места расположения базовой станции в сети стационарного радио доступа

Предположим, что задано местоположения пунктов абонентской сети, в которой реализуется стационарный радио доступ к опорному узлу базовой сети. Необходимо среди пунктов абонентской сети определить местоположение базовой станции (БС), которая по радиоканалам связывается с абонентскими пунктами (АП). Желательно, чтобы расстояние от БС до любого АП было минимальным, что обеспечит устойчивую радиосвязь при меньшей мощности передатчика БС. Ясно, что такому критерию удовлетворить невозможно, поэтому приходится минимизировать расстояние до самого отдаленного пункта. При этом целесообразно, чтобы БС по возможности заняла центральное положение по отношению ко всем ОП.

Задача нахождения такого пункта может быть сведена к задаче нахождения центраграфа.

О п р е д е л е н и е. Пусть G(N,V) есть граф, где N – множество вершин, а V – множество расстояний между всеми вершинами.

Вершина s называется центром графа G(N,V), если она удовлетворяет условию

max l_sj max l_ij для любой i; 1jn.

Алгоритм нахождения центра графа (вершины s) следует из самого определения:

Шаг1. В каждой строке исходной матрицы весовL= [l_ij] – отыскиваемый элемент с максимальным значением.

Шаг2. Среди множества максимальных значений элементов строк находим наименьшееl_sj {l_ij}. Вершинаsесть центр графа.

Таким образом, минимизировав расстояние от точки sдо самой отдаленной вершины, мы обеспечили ко всем остальным вершинам гарантированно меньшее расстояние.

Определение цикла наименьшей длины при организации транспортного кольца

Эта задача известна как «Задача о коммивояжере». Пусть дан граф G(N,V), вершины которого соответствуют городам в зоне обслуживания коммивояжера, а дуги отображают связи между парами городов. Маршрутом коммивояжера называется контур, включающий каждую вершину графаG.

О п р е д е л е н и е. Контур, включающий каждую вершину графа G(N,V) ровно один раз, называется гамильтоновым контуром (или гамильтоновым циклом).

Название «гамильтонов цикл» дано по имени ирландского математика Вильяма Гамильтона, который в 1859 г. впервые начал изучение этих задач.

Задачей коммивояжера называется задача поиска маршрута коммивояжера наименьшей длины. Оптимальным решением этой задачи является гамильтонов цикл наименьшей длины. Задача может быть решена следующим точным методом.

Перенумеруем nгородов целыми числами от 1 доn. Базовому городу припишем номерn. Заметим, что тур коммивояжера однозначно соответствует перестановке целых чисел 1, 2, ..., (n– 1). Базовый город под номеромnпри этом постоянно занимает последнюю позицию и в процессах перестановки не участвует. Каждой перестановке можно поставить в соответствие некоторое число, определяющее длину маршрута коммивояжера как сумму длин ребер цикла, соединяющего всеnвершин графа.

Образовав все перестановки из (n-1) чисел и получив длины маршрутов, количество которых определяется как (n–1)!, нетрудно отыскать маршрут наименьшей длины.

Приближенный эвристический алгоритм может быть получен с использованием эвристик, например «на каждом шаге в цикл включается ближайший город».

Определение гамильтонового цикла наименьшей длины актуально при определении оптимальной кольцевой топологии сегментов телекоммуникационных сетей.