Лекция 8 Определение оптимального местоположения опорного узла в кабельной сети абонентского доступа

Рассмотрим следующую задачу. Пусть граф G(N,V) представляет собой некоторую кабельную сеть, соединяющую n абонентских пунктов. Вес каждого ребра (i, j), принадлежащего V, соответствует длине l_ij либо стоимости кабеля, соединяющего пункты i и j. Необходимо определить некоторую вершину m, принадлежащую N, в которой целесообразно разместить узел коммутации (например, районную АТС) с точки зрения минимизации общей длины кабеля, соединяющего абонентские пункты с УК.

Решением поставленной задачи является определение медианы графа G(N,V).

О п р е д е л е н и е. Вершина m, принадлежащая N, есть медиана графа G(N, V), если она удовлетворяет условию

Величина называется медианной длиной графа G и представляет собой наименьшую суммарную длину ребер, соединяющих вершину m с остальными вершинами графа.

Алгоритм определения медианы графа G включает следующие шаги.

Шаг 1. В исходной матрице весов L = [l_ij], соответствующей длинам ребер, найти сумму элементов для каждой строки:

Шаг 2. Среди множества значений {R_i} отыскать минимальное R_m. Вершина m и есть медиана графа G.

Определение оптимального места расположения базовой станции в сети стационарного радио доступа

Предположим, что задано местоположения пунктов абонентской сети, в которой реализуется стационарный радио доступ к опорному узлу базовой сети. Необходимо среди пунктов абонентской сети определить местоположение базовой станции (БС), которая по радиоканалам связывается с абонентскими пунктами (АП). Желательно, чтобы расстояние от БС до любого АП было минимальным, что обеспечит устойчивую радиосвязь при меньшей мощности передатчика БС. Ясно, что такому критерию удовлетворить невозможно, поэтому приходится минимизировать расстояние до самого отдаленного пункта. При этом целесообразно, чтобы БС по возможности заняла центральное положение по отношению ко всем ОП.

Задача нахождения такого пункта может быть сведена к задаче нахождения центра графа.

О п р е д е л е н и е. Пусть G(N,V) есть граф, где N – множество вершин, а V – множество расстояний между всеми вершинами.

Вершина s называется центром графа G(N,V), если она удовлетворяет условию

max l_sj max l_ij для любой i; 1 j n.

Алгоритм нахождения центра графа (вершины s) следует из самого определения:

Шаг 1. В каждой строке исходной матрицы весов L = [l_ij] – отыскиваемый элемент с максимальным значением.

Шаг 2. Среди множества максимальных значений элементов строк находим наименьшее l_sj {l_ij}. Вершина s есть центр графа.

Таким образом, минимизировав расстояние от точки s до самой отдаленной вершины, мы обеспечили ко всем остальным вершинам гарантированно меньшее расстояние.

Определение цикла наименьшей длины при организации транспортного кольца

Эта задача известна как «Задача о коммивояжере». Пусть дан граф G(N,V), вершины которого соответствуют городам в зоне обслуживания коммивояжера, а дуги отображают связи между парами городов. Маршрутом коммивояжера называется контур, включающий каждую вершину графа G.

О п р е д е л е н и е. Контур, включающий каждую вершину графа G(N,V) ровно один раз, называется гамильтоновым контуром (или гамильтоновым циклом).

Название «гамильтонов цикл» дано по имени ирландского математика Вильяма Гамильтона, который в 1859 г. впервые начал изучение этих задач.

Задачей коммивояжера называется задача поиска маршрута коммивояжера наименьшей длины. Оптимальным решением этой задачи является гамильтонов цикл наименьшей длины. Задача может быть решена следующим точным методом.

Перенумеруем n городов целыми числами от 1 до n. Базовому городу припишем номер n. Заметим, что тур коммивояжера однозначно соответствует перестановке целых чисел 1, 2, ..., (n – 1). Базовый город под номером n при этом постоянно занимает последнюю позицию и в процессах перестановки не участвует. Каждой перестановке можно поставить в соответствие некоторое число, определяющее длину маршрута коммивояжера как сумму длин ребер цикла, соединяющего все n вершин графа.

Образовав все перестановки из (n-1) чисел и получив длины маршрутов, количество которых определяется как (n–1)!, нетрудно отыскать маршрут наименьшей длины.

Приближенный эвристический алгоритм может быть получен с использованием эвристик, например «на каждом шаге в цикл включается ближайший город».

Определение гамильтонового цикла наименьшей длины актуально при определении оптимальной кольцевой топологии сегментов телекоммуникационных сетей.