2. Синтез сети абонентского доступа.

2.1 Постройте кабельную сеть абонентского доступа, для которой обеспечивается минимум затрат на линейные сооружения.

Дано: Перечень пунктов сети (n=10) и матрица расстояний между ними. В качестве матрицы расстояний воспользуйтесь матрицей весов, полученной при выполнении задания 1, рассматривая все ребра в качестве расстояния в километрах. Отсутствующие значения элементов матрицы весов следует рассматривать как бесконечно большие расстояния, т.е. невозможность физической прокладки кабеля между некоторыми парами пунктов.

Стоимость 1км. Линейных сооружений на всех направлениях одинакова и равняется 10у.е.

Для решения поставленной задачи используется алгоритм Прима.

Шаг 0:Искомая сетьG^’(N,V^’) в исходном состоянии содержитn= 10 вершине и не содержит ребер. Выбираем одну произвольную вершину (вершина 5) и обозначаем ее как «выбранная». Остальные 9 вершин обозначим как «невыбранные».

Выбранная вершина Невыбранные вершины

5. 1,2,3,4,6,7,8,9,10

Шаг 1:Отыскиваем ребро (i,j) принадлежащее графуG(N,V), с минимальным весом, у которого вершинаiпринадлежит подмножеству «выбранных» вершин, вершинаj– подмножество «невыбранных» вершин.

Выбираем ребро (l_5,1) как ребро с наименьшим весом.

l_5,1= вес 25

Шаг 2: Ребро (i,j) включает в искомую сетьG^’(N,V’), а вершинаjисключается из подмножества «невыбранных» вершин и включается в подмножество «выбранных» вершин.

Ребро (l_5,1) вводится в искомый графG^’(N,V’), а вершина 1 включается подмножество «выбранных» вершин.

l_5,1= вес 25

Выбранная вершина Невыбранные вершины

5,1 2,3,4,6,7,8,9,10

Шаг 1 и 2 повторяется пока подмножество «невыбранных» вершин не окажется пустым.

l_1,7– вес6

Выбранная вершина Невыбранные вершины

5,1,7 2,3,4,6,8,9,10

l_7,3– вес 10

Выбранная вершина Невыбранные вершины

5,1,7,3 2,4,6,8,9,10

l_3,6– вес 12

Выбранная вершина Невыбранные вершины

5,1,7,3,62,4,8,9,10

l _1,2– вес 15

Выбранная вершина Невыбранные вершины

5,1,7,3,6,2 4,8,9,10

l _6,8– вес 18

Выбранная вершина Невыбранные вершины

5,1,7,3,6,2,8 4,9,10

l _8,10– вес 15

Выбранная вершина Невыбранные вершины

5,1,7,3,6,2,8,10 4,9

l_9,10– вес 10

Выбранная вершина Невыбранные вершины

5,1,7,3,6,2,8,10,9 4

l_1,4– вес 20

Выбранная вершина Невыбранные вершины

5,1,7,3,6,2,8,10,9,4 0

На этом работа алгоритма заканчивается, т.к. все вершины оказались помеченными как «выбранные». Полученный искомый граф представляющий собой покрывающее дерево(рис 2,1) т.к. он включает все вершины, содержит число ребер на единицу меньше числа вершины и обеспечивает связность каждой пары вершин.

Рисунок 2.1 – Искомый граф представляющий собой покрывающее дерево.

Общая стоимость линейных сооружений составляет

S= 10*l= 10(15+20+25+6+12+10+18+15+10) = 1310y.e.

2.2 На синтезированной сети, для которой обеспечивается минимум стоимости линейных сооружений, определите пункт, в котором целесообразно размести опорный узел (ОУ) сети абонентского доступа из соображений минимизации суммарной протяженности абонентских линий от ОУ ко всем абонентским пунктам (АП).

Решением поставленной задачи является определением медианы графа G(N,V),

Вершинаm, которая принадлежитN, является медианой графаG(N,V), если она удовлетворяет условию:

Величина называется медианой длиной графаGи представляет наименьшую суммарную длину ребра, которая соединяет вершинуmс другими вершинами графа.

Алгоритм определение медианы графа G(N,V), включает такие шаги:

Шаг 1. В исходной матрице весовL= [l_ij], соответствующими длинами ребер, найти сумму элементов каждого ребра:

Шаг 2. Среди множества значений (R_i) найти минимальноеR_m. Вершинаmи будет являтся медианой графа.

Для определения медиана графа построим матрицу расстояний по графу кабельной сети абонентского доступа (рис 2.1) с обеспечением минимума затрат на линейные сооружения

Матрица расстояний по соединительным путями между всеми пунктами сети приведена в таблице 2.1.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	∑
1	▬	15	16	20	25	28	6	46	71	61	288
2	15	▬	31	35	40	43	21	61	86	76	408
3	16	31	▬	36	41	12	10	30	55	45	276
4	20	35	36	▬	45	48	26	66	91	81	448
5	25	40	41	45	▬	53	31	71	96	86	488
6	28	43	12	48	53	▬	22	18	43	33	300
7	6	21	10	26	31	22	▬	40	65	55	276
8	46	61	30	66	71	18	40	▬	25	15	372
9	71	86	55	91	96	43	65	25	▬	10	542
10	61	76	45	81	86	33	55	15	10	▬	462

Таблица 2.1 – Матрица расстояний.

Среди множеств значений сумм элементов каждого ряда находим минимальное R_m= 276.

Вершина m= 7 является медианой графаG.

2.3 Для организации абонентской сети со стационарным радио доступом обеспечить выбор места расположения базовой станции (БС), которая обеспечивала бы устойчивую радиосвязь при сравнительно небольшой мощности радиопередатчика.

Дано:перечень пунктов (n= 10) и матрица расстояний. В качестве последней воспользуйтесь матрицей весов, полученной при выполнении задания 1. Отсутствующие значения элементов матрицы следует рассматривать как отсутствие прямой радио видимости между ними.

Решение данной задачи является определение центр графа.

Пускай G(N,V) это граф, гдеN– множество вершин, аVмножество расстояний между всеми вершинами. ВершинаSназывается центром графаG(N,V), если она удовлетворяет условию

_, для любойi;

Алгоритм определения центра графа (вершины S) следует из самого определения:

Шаг 1.В каждом ряду исходной матрицы весовL= [l_ij] – отыскиваем элемент с максимальным значением.

R_1max = 83 = l_1,4; R_6max = 33 = l_6,5;

R_2max = 19 = l_2,3; R_7max = 41 = l_7,1;

R_3max = 25 = l_3,7; R_8max = 53 = l_8,9;

R_4max = 83 = l_4,1; R_9max = 53 = l_9,8;

R_5max = 33 = l_5,6; R_10max = 13 = l_10,7;

Шаг 2. Среди множеств максимальных значений элементов рядов определим наименьшее. ВершинаS₁₀для которойR_10max= 13 =l_10,7является центром графа и таким образом является оптимальным месторасположением БС т.к. минимизировав расстояния до самих отдельных вершин графа мы гарантировано обеспечим меньшие расстояния ко всем остальным вершинам графа.

2.4 Дать письменный ответ на следующие ключевые вопросы:

1. Для чего предназначена сеть абонентского доступа?

2. Перечислить требования, которым должно удовлетворять решение задачи синтеза сети минимальной стоимости.

3. Какой граф называется деревом, покрывным деревом?

4. Сформируйте идею алгоритма Прима, которая обеспечивает построение сети минимальной стоимости.

5. Можно ли применить алгоритм Прима для построения максимальной стоимости? Если так, то каким образом?

6. Возможно, ли использовать алгоритм Прима при неполносвязной исходной матрицы расстояний? Что это означает?

7. Алгоритм Прима является точным или эвристическим?

8. Какая вершина называется медианой графа? Что является исходными данными для ее определения?

9. Сформировать алгоритм определения медианы графа по матрице расстояния между всеми парами вершины графа.

10. Какая вершина называется центром графа?

11. Сформировать алгоритм определения центра графа.

Ответы:

1. Сети абонентского доступа предназначены для ситуации, в которой определенное множество точек необходимо соединить так, чтобы каждая пара точек соединена непосредственно или через другие точки.

2. Для решения задачи синтеза сети минимальной стоимости требуется, чтобы определенное множество точек было соединены так, чтобы каждая пара точек стала соединенной (непосредственно или через другие точки), а суммарная весовая характеристика связей получалась минимальной.

3. Связный граф (сеть, которая объединяет) называется деревом, если в нем отсутствуют цикли (повторения). Дерево в котором включены все вершины, называется покрывным.

4. Алгоритм Прима реализуется путем установления пометок вершинам, которые вводятся в искомый граф, и последовательно введения у него наиболее коротких ребер, суммарное количество которых не должна превышать (n- 1) и при этом обеспечивать связность между всемиnвершинами покрывного графа.

5. Алгоритм Прима можно использовать для построения максимальной стоимости. Алгоритм реализуется как и в случаи построения сети минимальной стоимости, только последовательно вводится у него наиболее длинные ребра.

6. При неполносвязной исходной матрицы расстояния алгоритм Прима использовать нельзя, так как в результате не получится покрывающее дерево (т.е. не будет обеспечена связность каждой пары вершины).

7. Алгоритм Прима является тончим.

8. Вершина m, которая принадлежитN, является медианой графаG(N,V), если она удовлетворяет условию

9. Величина называется медианой длиной графаGи представляет наименьшую суммарную длину ребра, которая соединяет вершинуmс другими вершинами графа.

10. Вершина Sназывается центром графаG(N,V), если она удовлетворяет условию _, для любойi; .

11. Алгоритм определения центра графа (вершины S) такой:

1. В каждой строке искомой матрицы весов L= [l_ij] – отыскиваем элемент с максимальным значением.

2.Среди множеств максимальных значений элементов строки отыскиваем наименьшее Эта вершина и будет являться центром графа.