1.2. Электрическая цепь

Под электрической цепью понимают систему, которая состоит из источников тока, потребителей электрической энергии (сопротивлений), регулирующих приборов (реостатов, потенциометров) и контролирующих приборов (амперметров, вольтметров).

Простейшая электрическая цепь постоянного тока (рис. 1) – это замкнутый контур, образованный источником тока, ЭДС которого , а внутреннее сопротивление –r, и резистором R (внешнее сопротивление). В такой цепи сила тока изменяется реостатом R₁, а контролируется амперметром A. Падение напряжения на резисторе () контролируется вольтметромV. Амперметр включают последовательно с резистором, он должен иметь малое сопротивление, чтобы не влиять на ток в цепи. Вольтметр – параллельно, он должен иметь большое сопротивление, чтобы не влиять на падение напряжения. В случае простой цепи закон Ома дает возможность рассчитать электрические параметры, как отдельных участков, так и полной цепи.

На практике приходится рассчитывать, разветвленные цепи постоянного тока. Разветвленные цепи (рис. 2) представляют сеть, образованную двумя или несколькими замкнутыми электрическими контурами, которые соединены между собой в отдельных точках и имеют общие участки.

Точку разветвленной цепи, в которой сходятся три или больше проводников с токами, называют узлом (на рис. 2 – точки A или Б). Участком замкнутого контура, произвольно выделенного в электрической сети, называют часть контура между двумя узлами. На одном участке контура могут содержаться источник тока (или несколько источников), резисторы и другие элементы цепи.

По разным участкам одного контура проходят разные тока. По известным сопротивлениям участков и ЭДС, которые действуют в них, можно определить ток во всех участках или, наоборот, для обеспечения нужных токов в участках можно рассчитать соответствующие ЭДС. Решение таких задач упрощается, если пользоваться двумя правилами Кирхгофа.

1.3. Правила Кирхгофа и их применение

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда и заключается в том, что алгебраическая сумма сил токов, которые сходятся в узле равняется нулю

. (1)

где N – количество токов, которые сходятся в узле.

Перед составлением уравнения по первому правилу Кирхгофа необходимо на участках контуров, где текут одинаковые тока, произвольно выбрать направления токов и указать их стрелками. Условимся считать токи, которые входят в узел, положительными, а тока, которые выходят из него, отрицательными. Например, для узла А (рис. 3)

. (2)

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома для сложной электрической цепи: в произвольном замкнутом контуре, выделенном из сложной цепи, алгебраическая сумма падений напряжений равняется алгебраической сумме ЭДС, которые действуют в этом контуре

, (3)

где N – количество сопротивлений в контуре; M – количество источников ЭДС. Перед составлением уравнений по второму правилу Кирхгофа, необходимо произвольно выбрать направления обходов замкнутых контуров (на рис. 3 – по часовой стрелке). Потом надо учесть, что падение напряжения (произведение ) на участке цепи входит в уравнения со знаком „+”, когда направление тока совпадает с избранным направлением обхода; в противном случае произведениебудет в уравнении со знаком „–”. ЭДС входит в уравнения со знаком „+”, когда она повышает потенциал в направлении обхода контура (то есть создает ток, направленный по обходу контура); в противоположном случае ЭДС считают отрицательной.

Докажем второе правило Кирхгофа, применяя закон Ома в виде (7*) к разным участкам контура ABCDA (рис. 3). Для участка АВС он будет выглядеть так

,

где и– потенциалы в точкахА и С. Для участка АDС

.

Вычитая из первого уравнения второе, видим, что потенциалы точек А и сократятся. Получим соотношение, которое соответствует второму правилу Кирхгофа

. (4)

При составлении системы уравнений, записанных по правилам Кирхгофа, следует учесть следующее:

1. Для того чтобы уравнения, составленные по правилам Кирхгофа были независимыми, количество уравнений, составленных по первому правилу, должно быть на единицу меньше числа узлов в разветвленной цепи.

2. Количество уравнений, составленных по второму правилу, должно быть на единицу меньше числа замкнутых контуров.

3. Для составления уравнений по второму правилу, первый контур можно выбрать произвольно. Каждый следующий контур должен иметь хотя бы один участок, который еще не был описан предыдущими уравнениями.

4. Когда все уравнения по второму правилу будут записаны, у них должны входить обязательно все сопротивления и ЭДС, которые встречаются в сложном контуре.

5. Общее количество уравнений в системе равно количеству неизвестных параметров в разветвленной цепи (например, неизвестных токов).

6. Если при решении системы уравнений (например, методом определителей) получено отрицательное значение силы некоторого тока, это означает, что этот ток в действительности течет в направлении, противоположном произвольно выбранному.

Пример: Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов и трех сопротивлений (рис. 3). В этой цепи ,,, ЭДС элементов, а_. Определить силу токов ,,. Внутренними сопротивлениями элементов пренебречь.

Решение. Выберем направления токов, как показано на рис. 3 и условимся обходить контуры за часовой стрелкой.

По первому правилу Кирхгофа запишем уравнение (2), . По второму правилу для контура ABCDA – уравнение (4), а для контура ADEFA – уравнение

. (5)

Таким образом, система трех линейных уравнений с тремя неизвестными токами I₁, I₂, I₃ будет выглядеть так:

. (6)

После подстановки известных числовых значений система (6) приобретет вид

. (7)

Систему (7) легко решать методом определителей (методом Крамера), согласно которому неизвестные I₁, I₂ и I₃ находят через отношение определителей:

, ,, (8)

где – определитель третьего порядка, столбцы которого составляются из коэффициентов при неизвестныхI₁, I₂, I₃, а ,и– соответственно образуются заменой в определителестолбцов с коэффициентами приI₁, I₂ и I₃ на столбцы свободных членов.

Итак, составим и вычислим определитель системы:

Определители и– соответственно равняются:

По формулам (8) найдем численные значения силы токов

, . Сила тока измеряется в амперах, поэтому можно записать,. Силу токаI₃ можно найти аналогично, или из уравнения (2): .