Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичні вказівки Границі

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2016

Размер:

751.99 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

	13
Теорема. Якщо функція x — нескінченно мала 0 , то функція			1	є

			x
			x
нескінченно великою функцією й навпаки: якщо функція f (x) — нескінченно
велика, то	1	— нескінченно мала.

	f x

7. Основні правила обчислення границь

Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь:

lim f x g x lim		f x lim g x .
x x0	x x0	x x0

Границя добутку двох функцій дорівнює добутку їхніх границь:

lim f x g x lim		f x lim g x
x x0	x x0	x x0

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак границі:

lim с f x с lim		f x
x x0	x x0

Наслідок. Границя степеня з натуральним показником дорівнює тому ж степеню границі;

lim f x n

x x0

Зокрема, lim xn xn .

x x0 0

lim f x

n .

x x0

Границя дробу дорівнює границі чисельника, поділеної на границю

знаменника, якщо границя знаменника не дорівнює нулю:
	f x	lim f x		lim g x 0 .
lim		x x0	,
	g x	lim g x
x x0				x x0
		x x0

Не будь-яка функція, навіть обмежена, має границю. Наприклад, функція y sin x коли x границі не має. У багатьох питаннях аналізу буває досить тільки переконатися в існуванні границі функції. У таких випадках користуються ознаками існування границі.

Якщо функція f (x) укладена між двома функціями g x й h x , які прямують до однієї границі, то вона також прямує до цієї границі, тобто якщо

lim g x A ,	lim h x A
x x0	x x0

g x f x h x

тоді

lim f (xn ) A .

x x0

Якщо функція f (x) монотонна й обмежена коли x x0 або коли x x0 , то існує

відповідно її ліва границя lim f (x)	f (x0 0) або її права границя
x x0 0

lim f (x) f (x0 0) .

x x0 0

Границя lim

sin x

1 називається першою чудовою границею.

x 0

Приклад. Знайти:

а) lim

sin 6x

; b) lim

1 cos x

; с)

lim

tgx

x 0

Рішення:

а) lim

sin 6x

lim

sin 6x

;

x 0

2 x 0

1 cos x

2sin

sin

b) lim

lim

x 0

2 x 0

tgx

lim

sin x

lim

sin x

lim1

с) lim

x 0

cos x

lim cos x

x 0

Кожна з рівностей

lim 1

e ,

lim 1 x

e називається другою

x 0

чудовою границею.

Приклад. Знайти:

lim 1 3y

x sin 3x

а) lim 1

; b)

; c) lim

y 0

x 0

cos x

Рішення:

а)

lim

;

3 y

lim 1 3y y

1 3y 3 y

lim 1 3y 3 y

lim

y 0

2 co s 1

2 cos x 1

co sx

x s in3x co sx

x s in3x

2 co sx 1

x s in3x

lim 3

lim 1

lim

cos x

x 0

cos x

x 0

cos x

						15
	4 sin	2 x		x2
lim e	4 sin		2	x2	e	1
lim e	x 3x			lim e 3x2	e	3 .
x 0				x 0
До числа	e		зводяться		рішення багатьох прикладних задач статистики,

фізики, біології, хімії й ін., аналіз таких процесів, як ріст народонаселення, розпад радію, розмноження бактерій і т.п.

8. Еквівалентні нескінченно малі функції

Як відомо, сума, різниця й добуток двох н.м.ф. є функція нескінченно мала. Відношення ж двох н.м.ф. може поводитися різним чином: бути кінцевим числом, бути нескінченно великою функцією, нескінченно малою або взагалі не

прямувати ні до якої границі.

Дві н.м.ф. порівнюються між собою за допомогою їхнього відношення.

Нехай

(x) й

(x)

є н.м.

ф.

коли

x x0 , тобто

lim (x) 0 й

x x0

lim (x) 0 .

x x0

1. Якщо

lim

A 0( A R) ,

тоді

називаються нескінченно малими

x x0

одного порядку.

2. Якщо

lim

0 ,

то

називається нескінченно малою більш високого

x x0

порядку, чим .

3. Якщо

lim

то

називається нескінченно малою більш низького

x x0

порядку, чим .

4. Якщо lim

не існує, то й називається непорівнянними нескінченно

x x0

малими.

Відзначимо, що такі ж правила порівняння н.м. ф. коли x , x x0 .

Приклад. Порівняти порядок функцій 3x2

і 14x2 коли x .

Рішення. Коли x 0 це н.м. ф. одного порядку, тому що

lim

3x2

0 .

14x2

x 0

Говорять, що н.м. ф.

одного порядку прямують до нуля з приблизно

однаковою швидкістю.

Приклад. Чи будуть функції 3x4 й

н.м. ф. одного порядку коли

x 0 ?

Рішення.

Коли x 0 функція є н.м. ф. більш високого порядку чим ,

тому що lim

lim

3x4

lim

3x3

0 . У цьому випадку н.м. ф. прямує до нуля

x 0

швидше, ніж .

Приклад. Порівняти порядок функцій tgx і x2

коли x 0 .

Рішення. Так як

lim

tgx

lim

sin x

x 0

x 0 x2

x 0

cos x

тоді н.м. ф. більш низького порядку, чим .

Приклад. Чи можна порівнювати функції x sin

й x коли x 0 ?

Рішення.

Функція x sin

коли x 0 є незрівнянними н.м. ф., тому що

x sin

lim

lim sin

границя lim

не існує.

x 0

Серед нескінченно малих функцій одного порядку особливу роль грають так звані еквівалентні нескінченно малі.

Якщо lim			1, то й називаються еквівалентними нескінченно малими
x x0
( коли x x0 ); це позначається так :				~ .
Наприклад, sin x ~ x коли x 0 ,				тому що lim	sin x	1 ;	tgx ~ x коли	x 0 ,

				x 0 x
тому що lim	tgx		1.

x 0		x

Правило. Границя відношень двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо кожну з них замінити еквівалентною їй нескінченно малою.

Правило. Різниця двох еквівалентних нескінченно малих функцій є нескінченно мала більш високого порядку, чим кожна з них.

Справедливе й зворотнє твердження: якщо різниця н.м. ф. й є нескінченно мала вищого порядку, чим або , тоді й - еквівалентні нескінченно малі.

Правило. Сума скінченного числа нескінченно малих функцій різних порядків еквівалентна доданку нижчого порядку.

Доданок, еквівалентний сумі нескінченно малих, називається головною частиною цієї суми.

Заміна суми н.м.ф. її головною частиною називається відкиданням нескінченно малих вищого порядку.

	3x 7x2
Приклад. Знайти межу lim		.

x 0	sin 2x

Рішення. lim

3x 7x2

lim

, оскільки

3x 7x2 ~ 3x й

sin 2x ~ 2x

sin 2x

x 0

коли x 0 .

Для розкриття невизначеностей

виду

часто буває

корисним

застосовувати принцип заміни нескінченно малих еквівалентними й користуватися іншими властивостями еквівалентних нескінченно малих функцій. Як відомо, sin x ~ x коли x 0 , tgx ~ x коли x 0 . Наведемо ще приклади еквівалентних н.м.ф.

Приклад. Покажемо, що 1 cos x ~

коли x 0 .

sin

1 cos x

2sin 2

Рішення. lim

lim

1 1 1.

x 0

(

Приклад. Знайдемо lim

arcsin x

x 0

Рішення. Позначимо arcsin x t , Тоді x sin t

й t 0 коли x 0 .

Тому

lim

arcsin x

lim

x 0

sin t

Отже, arcsin x ~ x коли x 0 .

1 ~

Приклад. Покажемо, що

1 x

коли x 0 .

Рішення. Так як

lim

1 x 1

lim

(

1 x 1)( 1 x 1)

lim

1, тоді

1 x 1

x 0

x 1)

( 1 x 1)

( 1

1 ~

1 x

коли

x 0 .

Нижче наведені найважливіші еквівалентності, які використовуються при обчисленні границь:

1. sin x ~ x коли x 0 ; 2. tgx ~ x(x 0) ;

3. arcsin x ~ x(x 0) ; 4. arctgx ~ x(x 0) ;

5. 1 cos x ~ x2 (x 0) ; 2

6.ex 1 ~ x(x 0) ;

7.a x 1 ~ x ln a(x 0) ;

8.ln(1 x) ~ x(x 0) ;

9.loga (1 x) ~ x loga e(x 0) ;

10.(1 x)k 1 ~ kx, k 0(x 0) ; зокрема, 1 x 1 ~ 2x .

Приклад. Знайти lim

tg 2x

sin 3x

x 0

Рішення. Так як tg 2x ~ 2x,sin 3x ~ 3x коли x 0 , тоді

lim

tg 2x

lim

x 0

sin 3x

x 0

Приклад. Знайти lim x(e 1x 1) .

Рішення. Позначимо

t , так як

x тоді t 0 . Тому

lim x(e 1x

1) lim

(et 1) lim

t lim1 1.

t 0

Приклад. Знайти lim

arcsin( x 1)

x 1

x2 5x 4

Рішення. Так як arcsin( x 1) ~ (x 1) коли x 1, тоді

lim

arcsin( x 1)

lim

(x 1)

lim

x 4

x 1

x2 5x 4

x 1 (x 1)(x 4)

x 1

§2. РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

Приклад. Знайти:

3x 5

sin x

lim

; б)

lim

; в)

lim

; г)

lim x cos

x 7

x 5

x 5 0 x 5

x 0

Рішення

а) На основі неперервності функції в точці x 7 шукана границя дорівнює

значенню функції у цій точці, тобто lim

3x 5

3 7 5

13.

x 7

x 5

7 5

б) Коли x 5 0 чисельник 3x 5

прямує до 3 5 5 20 (тобто є обмеженою

функцією),

а знаменник

x 5 -

до

нуля (тобто є нескінченно малою

3x 5

величиною); очевидно, їхнє відношення

lim

x 5 0

x 5

в) lim

sin x

0, тому що

відношення

обмеженої функції sin x

sin x

1 до

нескінченно великої величини x (коли x ) є величина нескінченно мала.

г) lim x cos

0 , тому що добуток нескінченно малої величини x (коли

x 0

	1		1

x 0 ) на обмежену функцію cos		cos		1	є величина нескінченно мала.
	x		x

Зауважимо, що цю границю не можна обчислювати за допомогою теореми

про границю добутку, оскільки lim cos			1	- не існує (коли x 0 аргумент
про границю добутку, оскільки lim cos			x	- не існує (коли x 0 аргумент
		x 0	x
косинуса	1	змінюється неперервно уздовж числової осі до нескінченності, при
косинуса	x
	x

цьому значення cos 1x коливаються від -1 до 1 і від 1 до -1, не прямуючи ні до

якого числа (границі)).

У розглянутих прикладах границя знаходиться відразу; у вигляді числа або символу . Але частіше при обчисленні границь ми зустрічаємося з невизначеностями, коли результат знаходження границі не ясний, наприклад, у

випадку відношення двох нескінченно малих функцій (умовне позначення		0

		0
		0
) або нескінченно великих (	). Крім відзначених невизначеностей виду

		0

математичному

аналізі розглядаються також невизначеності типу

, у

, 0 , 1

. .

Приклад. Знайти:

2x 2 x 1

а)

lim

; б)

lim

x 2 6 x

; в) lim

x 1

x 1 2

x2 4

x 1 0

x 2

x 1

3 x

Рішення

а)

Для

розкриття

невизначеності

виду

розкладемо чисельник на

множники й скоротимо дріб на множник x 1 ; скорочення можливе, тому що коли x 1 x 1 прямує до нуля, але не дорівнює нулю.

2 x

x 1

2x 2 x 1

2x 1

lim

x 1

x 1 0

x 1

б) Для розкриття невизначеності виду	0	помножимо чисельник і знаменник


	0

на вираз, спряжений до чисельника, одержимо:

x 2 6 x

x 2

6 x

lim

x 2

6 x

lim

4 x 2 6 x

x 2

lim

x 2

lim

x 2 x 2

x 2

6 x

x 2

6 x

в) Для розкриття невизначеності виду

зручно попередньо зробити заміну

t 6 x

(тоді x t3 , 3

x t2 ,

коли x 1, t 1), а потім отримані многочлени

розкласти на множники:

t 1

x 1

t 1 3

lim

t 1 t 1

lim

t 1

x 1

Приклад. Знайти:

а) lim

3x2 2

;

4x5 x 1

б)

a xn b xn 1

... k x l

lim

;

... k

x l

x a xm b xm 1

в)

lim

4 x9 1

;

x x2

г)

lim f x і

lim f

x , де

f x

2x 1

3x 1

;

д) lim

4x sin x

x cos x

Рішення

а) Маємо невизначеність виду

. З огляду на те, що поведінка чисельника

й знаменника коли

x визначається членами з найбільшими показниками

степенів (відповідно 3x2

й 4x5 ), розділимо чисельник і знаменник на x5 , тобто

на x з найбільшим показником степеня

чисельника й знаменника.

Використовуючи теореми про границі, одержимо

3x2 2

0 0

lim

x 1

4 0 0

x 4x

б) Використовуючи той самий прийом, що й у п.а), можна показати, що

якщо n m,

a1 x n b1 x n 1

... k1 x l1

lim

, якщо n m,

b2 x

n 1

... k2 x l

x a2 x

якщо n m,

тобто границя відношення двох многочленів

lim

Pn x

дорівнює 0 (або ),

x Q

якщо показник степеня чисельника n відповідно менший або (більший)

показника степеня знаменника m ,

і відношенню коефіцієнтів при найбільших

степенях x у випадку, коли степені чисельника і знаменника рівні.

в) Маємо невизначеність виду

. Тут виразу чисельника умовно можна

надати степінь n

а в знаменнику степінь m 2; так як n m , то шукана

границя дорівнює .

Дійсно, розділивши чисельник і знаменник на 4

x9 ,

одержимо

4 1

x9 1

lim

x x

4 x7

г) Коли x маємо невизначеність виду

, при цьому поведінка чисельника

й знаменника визначається другими доданками, які зростають швидше перших.

Розділивши чисельник і знаменник на 3x та використовуючи теореми про границі, одержимо

lim	2x 1	3x 1
	2x	3x
x

оскільки		2	x	0.
	lim
	lim
	x	3

limx

	2		x
2				3	0 3

	3					3,
	2	x			0 1
				1
	3

	0
Коли	x маємо невизначеність виду		, при цьому поведінка чисельника

		0

й знаменника визначається першими доданками, які спадають повільніше інших. Розділивши чисельник і знаменник на 2x та використовуючи теореми про границі, одержимо

										3	x
	2	x 1		3	x 1	0		2 3				2 0
		x 1			x 1			2 3
lim							lim			2			2.
lim			x	3	x		lim				x	1 0	2.
x 2			x		x		x		3		x
x 2						0	x		3
							1
							1
									2

д) Для розкриття невизначеності виду			розділимо чисельник і знаменник на


x , одержимо lim						4x sin x
						x cos x
			x
lim	sin x	0,	lim	cos x			0.

x x			x		x

limx

4 sin x			4		0
		x	4		0
		x				4,	тому що
1	cos x			1	0	4,	тому що
1		x
		x

Приклад. Знайти:

lim

;

а)

x2 1

x ;

б)

lim

x2 2

в)

lim

x 1 1

1 x

Рішення

а) Для розкриття невизначеності виду помножимо й розділимо вираз в дужках на спряжений вираз, одержимо

lim

x2 1

lim

б) Коли x маємо невизначеність виду . Рішення аналогічно попередньому прикладу

x lim

lim

x2 2

2 x

lim

Звертаємо увагу на те, що коли x ,

в знаменнику немає невизначеності,

тому що він є сумою нескінченно великих додатніх величин - величина, нескінченно велика.

в) lim

lim

1 x

x 1

lim

x 1 x

x 1 1

x 1

Приклад. Знайти:

а) lim x sin 1 ;

x x

б) lim sin 4x ; x 0 sin 8x

в) lim

sin x6

;

sin5 x

x 0

г) lim 1 x tg

x .

x 1

Рішення

0 lim

sin

lim

а) lim x sin

sin y

x 1

y 0

(зробили заміну y

коли x , y 0 ).

sin 4x

sin 8x

б) lim

lim

(1:1)

x 0

sin 8x

2 x 0

sin x

0 1 :15 0.

в) lim

lim

x 0

sin

x 0

г) Коли x 1 маємо невизначеність виду 0 . Зробимо заміну 1 x y , тоді x 1 y й коли x 1, тоді y 0 . Одержимо

lim 1 x tg

lim y ctg

0 lim y tg

x 1

y 0

sin y

lim cos

lim

y 0

Звертаємо увагу, що нема невизначеності коли обчислюємо границі типу

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.2016695.3 Кб23методичка по статистике.doc
#
19.11.2019506.37 Кб6методичка по ТВС.doc
#
23.11.201944.71 Кб5Методичка по турдеятельности.docx
#
27.11.2019463.36 Кб2Методичка фрукты овощи.doc
#
06.01.2020609.79 Кб1Методичн вказ вки до практичних занять Мен орг...doc
#
09.02.2016751.99 Кб15Методичні вказівки Границі.pdf
#
12.11.2019705.02 Кб3Методичні вказівки до індивідуальної роботи.doc
#
09.11.20194.58 Mб25Методичні вказівки до самостійної роботи з пред...doc
#
11.01.2020684.03 Кб0Методичні вказівки з курсу Хімія вина.doc
#
09.02.2016154.11 Кб19Микроэкономика.doc
#
09.02.20162.15 Mб16Милованов СТК-пос(правленый)А5.docx

										3	x
	2	x 1		3	x 1	0		2 3				2 0
		x 1			x 1			2 3
lim							lim			2			2.
lim			x	3	x		lim				x	1 0	2.
x 2			x		x		x		3		x
x 2						0	x		3
							1
							1
									2

										3	x
	2	x 1		3	x 1	0		2 3				2 0
		x 1			x 1			2 3
lim							lim			2			2.
lim			x	3	x		lim				x	1 0	2.
x 2			x		x		x		3		x
x 2						0	x		3
							1
							1
									2

										3	x
	2	x 1		3	x 1	0		2 3				2 0
		x 1			x 1			2 3
lim							lim			2			2.
lim			x	3	x		lim				x	1 0	2.
x 2			x		x		x		3		x
x 2						0	x		3
							1
							1
									2