![](/user_photo/712_rzlaH.jpg)
- •1.3 Понятие функции.
- •1.4 Основные характеристики функций.
- •2. Числовые последовательности.
- •2.1 Определения и основные понятия.
- •2.2 Предел последовательности.
- •2.3 Бесконечнобольшие(б.Б.) и бесконечномалые(б.М.) последовательности.
- •2.4 Сходящиеся последовательности.
- •2.5 Монотонные последовательности.
- •3. Предел функции.
- •3.1 Основные определения.
- •3.2 Односторонние пределы.
- •3.3 Бесконечно большие(б.Б.) и бесконечно малые(б.М.) функции.
- •3.4 Основные теоремы о пределах.
- •3.5 Первый замечательный предел.
- •3.6.Второй замечательный предел.
- •3.7. Сравнение бесконечно малых величин.
- •4. Непрерывность функций
- •4.1.Непрерывность функции в точке
- •4.2 Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •4.3 Классификация точек разрыва
- •4.4 Свойства функций, непрерывных в точке
- •4.5 Свойства функций, непрерывных на отрезке (a;b)
- •5. Дифференцирование
- •5.1 Понятие производной
- •5.2. Геометрический смысл производной
- •5.3 Дифференцируемость функции
- •5.4 Правила дифференцирования.
- •5.5 Производные элементарных функций
- •5.6 Производная сложной функции
- •5.7 Производная обратной функции
- •5.8 Понятие дифференциала
- •5.9 Производная и дифференциал высших порядков
- •6. Применение диф. Исчисления к исследованию функций.
- •6.1 Основные теоремы дифференциального исчисления
- •6.2 Правило Лапиталя
- •6.3 Монотонность функций.
- •6.4 Экстремумы функций.
- •6.5 Направление выпуклостей и точки перегиба графика функций.
- •6.6 Асимптоты графика функций
- •6.7 Схема исследования функции и исследование её графика
- •6.8 Формула Тейлора
- •1.1.Основные определения.
- •1.2 Предел функции двух переменных.
- •1.4 Основные свойства непрерывных функций двух переменных.
- •2 Дифференцирование функций нескольких переменных
- •2.1 Частные производные
- •2.2 Понятие дифференцируемости
- •2.3 Производные сложных функций
- •2.4 Дифференциал функции
- •2.5 Производная по направлению и градиент
- •2.6 Экстремум функции двух переменных
- •2.7 Условный экстремум
- •2.8 Минимум и максимум функции двух переменных
- •Глава 5. Интегральное исчисление.
- •1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная
- •1.2 Неопределённый интеграл
- •1.3 Таблица основных интегралов
- •3.2 Формула Ньютона-Лейбница.
- •3.3 Основные свойства определённого интеграла
- •3.4 Интеграл с переменным верхним пределом
- •3.5 Основные методы интегрирования
- •3.6 Не собственный Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
6.6 Асимптоты графика функций
при исследовании графика функции на бесконечность, т.е. при x+ и x-, а так же вблизи точек разрыва часто оказывается, что график сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, т.е. асимптоте.
Прямая х=х0 – вертикальная
асимптота графика функции y=f(x),
если хотя бы один из пределов
или
равен
.
Нахождение вертикальных асимптот: 1)
точки разрыва и граничные точки на
области определения 2) вычисляем
односторонний предел при х стремящимся
к этим точкам.
Прямая y=a
– горизонтальная асимптота графика
y=f(x),
при х,
если
.
Прямая y=kx+b
называется наклонной асимптотой к
графику y=f(x)
при х,
если саму функцию y=f(x)
можно представить в виде f(x)=kx+b+(x),
где
.
Схема нахождения: вычисляем
,
если этот предел не существует или равен
бесконечности, то функция не имеет
наклонной асимптоты. Вычисляем
,
если его нет или он бесконечен, то
асимптоты нет.
6.7 Схема исследования функции и исследование её графика
1. Область определения функции, промежутки непрерывности, точки разрыва, вертикальные асимптоты
2. точки пересечения с осями.
3. чётность/нечётность
4. периодичность
5. промежутки монотонности и экстремумы
6. Выпуклости, точки перегиба
7. наклонные асимптоты
6.8 Формула Тейлора
Пусть функция y=f(x)
определена в некоторой окрестности
точки х0 и имеет в этой точке производные
(n+1) порядка.
Тогда для любого х в (x0-;x0+)
найдется такое (кси)(х0;х),
такая что справедлива формула:
-
многочлен Тейлора, остаточный член в
формуле Лагранжа.
Формула Маклорена: называют формулу Тейлора при х0=0.
Математический анализ. Глава 4. Функции многих переменных.
1.1.Основные определения.
Предположим, что задано множество D упорядоченных пар чисел. Если каждой паре из множества D по некоторому правилу сопоставить единственную переменную zZ, то говорят, что на множестве D задана функция z=f(x;y).
1.2 Предел функции двух переменных.
Введём понятие дельта
окрестности точки M0(x0;y0).
M(x;y)U(M0),
.
Определение: пусть функция Z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М0, за исключением быть может самой точки М0. число А называется пределом функции z=f(x;y) при хх0, уу0. M(x;y)M0(x0,y0).
Если для любого E>0 существует
>0,
такое что для всех хх0,
уу0
и удовлетворяет
=> |f(x,y)-A|<E
Теорема: Пусть функция f(M)
и g(M)
определены на одном и том же множестве
D и имеют
следующий предел
,
а
,
тогда функцииg(M)f(M);
g(M)*f(M);
g(M)/f(M),
при f(M)0,
так же имеют пределы, которые соответственно
равны AB,
A*B,
A/B.
Функция z=f(M)
называется бесконечно малой при MM0.
Если
,
то тогда функция может быть представлена
в виде:Z(M)=A+(M)
Непрерывность функции 2-х переменных
Определение: Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки М0. функция f(M)
называется непрерывной в точке М0, если
существует предел функции в этой точке
и он равен значению функции в этой точке
Определение: функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной на всей этой области.
Определение: Точки в которых нарушается непрерывность называются точками разрыва.
Функция, z=f(x,y) называется непрерывной в точке М0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.