2.3 Бесконечнобольшие(б.Б.) и бесконечномалые(б.М.) последовательности.

{x_n}- называется бесконечно большой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |x_n|>M. (M>0N_M:n>N=>|Xn|>M)

{x_n}- называется бесконечно малой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |x_n|<M.

Теорема: если последовательность {x_n}-бесконечно большая и все её члены отличны от нуля, то последовательность -бесконечно малая и обратно, если {_n}-бесконечно малая, и члены отличны от нуля, то -бесконечно большая последовательность.

Доказательство:

Пусть {xn}-бесконечно большая. M>0N_M:n>N=>|Xn|>M. Пусть ,n>N – бесконечно малая и обратно.

Основные свойства бесконечно малых/больших последовательностей.

Теорема: сумма и разность б.м.п. есть б.м.п. Док-во: n – б.м., n-б.м. /2>0N1:n>N1=>|n|</2, /2>0N2:n>N2=>|n|</2. N=max{N1,N2}, тогда n>N будут одновременно выполнятся |n|</2 и |n|</2 => n>N |n+-n|  |n|+|n| < /2+/2=, n>N |n+-n| <  - бесконечно малая.

Следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть б.м.п.

Теорема: Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.

Док-во: n – б.м., n-б.м. Так как n – б.м., то >0N1:n>N1=>|n|<, =1N2:n>N2=>|n|<1. N=max{N1,N2}, тогда n>N существует |n|< и |n|<1 => |n|*|n|<*1=, |n*n|-бесконечно малая.

Следствие: произведение любого конечного числа б.м.п. есть б.м.п.

Замечание: частное 2-х б.м.п. может не быть б.м.п.

Последовательность {Xn} называется ограниченной, если существует такое c>0, что для всех членов последовательности выполняется: c>0:n>N=>|Xn|>c

Теорема: произведение ограниченной последовательности на б.м. есть б.м.п. Док-во: Пусть Xn-ограниченная, n – б.м. Так как Xn-ограниченная, то c>0:n>N=>|Xn|>c, так как n – б.м., то /с>0N:n>N=>|n|</с. Тогда |Xn*n| = |Xn|*|n| < c*/c=, |Xn*n|<c-б.м.п.

Теорема:

Замечание:

2.4 Сходящиеся последовательности.

Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящей.

Замечание: б.б.п. не имеет предела или говорят, что она имеет бесконечный предел.

Всякая б.м.п. является сходящей и имеет пределом число 0.

Теорема: всякая сходящаяся последовательность ограничена. Док-во: , тогда по определению >0N:n>N=>|Xn-A|<, А-<Xn<A+, -|A|-<Xn<|A|+, *|Xn|<|A|+,n>N. Членов, чля которых не выполнено * конечное число. Это числа Х1,Х2…Х_N. Обозначим за k=max{|Х1|,|Х2|…|Х_N|} и возьмем в качестве c=max{k, |A|+}, тогда n>N=>|Xn|<c-ограниченная последовательность.

Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Xn=(-1)ⁿ.

Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Док-во от противного: Пусть есть АВ; , , ]A<B, тогда ,

N1:n>N1=>|Xn-A|<; ,N2:n>N2=>|Xn-B|<; А-<Xn<A+, B-<Xn<B+. Nmax={N1,N2}. n>N, Xn находится в  окрестности чисел А и В, но так как эти окрестности не пересекаются (учитывая выбранное нами ), то получаем противоречие, следовательно предположение не верно.

Теорема(о предельном переходе в неравенства): пусть. Док-во: Пусть выполняются все условия теоремы, ноA>B. >0N:n>N=>|Xn-A|<, или A-<Xn<A+. >0N:n>N=>|Yn-B|<, или B-<Yn<B+; пусть , тогда Xn>A-, Xn>A-, Xn>, и ещё Yn<B+, Yn<B+, Yn<, т.е. Xn>Yn что противоречит условию.

Теорема о сжатой переменной: Если . Док-во: есть>0, тогда для Xn, N1:n>N1=>|Xn-A|<, A-<Xn<A+, так как , >0N2:n>N2=>|Yn-A|<, A-<Yn<A+, N=max{N1;N2}. Тогда n>N выполняется оба подчёркнутых неравенства. Используя подчёркнутое, а так же исходное неравенство имеем: A-<XnZnYn<A+ => A-<Zn<A+, |Zn-A|<, n>N=>.

Свойства пределов последовательностей.

т.к. Xn=A+б.м.п.

, если все члены Yn отличны от нуля и В0.