пособие мат.моделирование

Следовательно, коэффициент диффузии имеет размерность

Коэффициент диффузии представляет собой количество веще­ ства (в массовых единицах), проходящего в единицу времени ( 1 с) через участок единичной площади (например, 1 см2) при градиенте концентрации, равном единице (соответствующем изменению 1 моль/л на 1 см длины). Коэффициент диффузии определяется свойствами среды и типом диффундирующих частиц (табл. 3).

Таблица 3

Связь коэффициента диффузии D и размера частиц*

* Таблица заимствована из книги [56].

Эйнштейн (1906) показал, что в растворе для сферических молекул, больших по сравнению с молекулами растворителя, коэффициент диффузии определяется формулой

где к — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура рас­ твора; ц — коэффициент вязкости раствора; г — радиус молекулы.

Таким образом, чем больше размер частиц, тем медленнее они диффундируют (табл. 3).

Вернемся к выводу уравнения диффузии. Подставим формулу Фика (150) в формулу (149) для скорости изменения концентрации m(jc, t)\

Если в области имеются источники или стоки вещества, обусловленные протеканием какой-либо реакции, то в уравне­ нии диффузии (151) добавится реакционный членДдг, t), задаю­ щий интенсивность этих источников, т. е. продукцию вещества в единицу времени. Уравнение диффузии становится реакционно­ диффузионным уравнением или уравнением реакции диффузии (reaction-dijfusion equation)

Как правило, интенсивность источников не зависит явно от времени, а зависит только от пространственной координаты, т. е. является функцией плотности источников /=Ддс). В биологиче­ ских системах, где функция / описывает скорость некой реакции с участием рассматриваемого вещества, например биохимической реакции, скорость реакции зависит от концентрации реагентов, т. е., в скалярном случае, от самой величины и: f=J{u). При этом линейная задача диффузии становится нелинейной задачей реак­ ции диффузии.

Полученное уравнение диффузии (реакции диффузии) явля­ ется уравнением в частных производных параболического типа. Его еще называют уравнением теплопроводности, так как оно опи­ сывает распределение температуры в стержне. Далее мы увидим, что аналогичное уравнение используется для описания проведе­ ния возбуждения в ряде возбудимых тканей, в частности в нервном волокне или сердечной мышце.

Чтобы окончательно поставить задачу определения и(х, /), тре­ буется задать начальные и граничные условия задачи.

Например, начальное распределение концентрации веще­ ства может быть равномерным, т. е. и(х, 0 ) = const, или задаваться известной функцией

и(х, 0 ) = ц>(х).

Граничные условия определяют способ обмена веществом на границе области, в одномерном случае — на концах нашей узкой трубочки.

Например, концентрация вещества на границе может под­ держиваться заданной, в частности постоянной. Такое граничное условие называется условием первого рода:

м (0 , 0 = au(L, t) = (3.

Граничное условие второго рода задает поток вещества через границу:

м '(0,0 = а, и '(1 ,0 = Р-

В частности, при нулевых граничных условиях второго рода моделируется случай изолированных концов (поток вещества отсутствует).

Вместо постоянных значений концентрации (условия первого рода) или потока (условия второго рода) на границе также могут быть заданы функции, зависящие от времени.

Наконец, можно рассмотреть граничные условия третьего рода смешанного типа, когда на границе происходит обмен веще­ ством с внешней средой по закону Ньютона, т. е. пропорционально разности концентраций во внешней среде и на границе, например вида

а • м' ( 0 , / ) + Р • м (0t) ,= 0 .

Решение уравнения диффузии с заданными начально-гра­ ничными условиями в некоторых случаях, например для линей­ ной однородной задачи (f = 0 ), можно выписать аналитически, но в общем случае, особенно в присутствии реакционного слагае­ мого, решение находят при помощи численных методов.

В трехмерном случае формализуем тот же самый закон сохранения вещества при помощи соответствующих объемных интегралов:

(153)

где u(t, X ) = u (t,x,y,z) — концентрация вещества в замкну­ той области £2 ; дО. — граница области £2 ; п — единичный век­ тор внешней нормали к границе £2; f ( X ) = f(x ,y ,z ) — функция, задающая интенсивность источников вещества в единице объема

входе реакции; J = {Jx(x,y,z), Jy(x ,y ,z),J z(x,y,z)} — векторный поток и через границу 5£2; dV, dА — бесконечно малые элементы объема и площади границы, через которую направлен поток J соответственно.

Таким образом, в формуле (153) слева записана скорость изме­ нения количества вещества в объеме £2 , которая равна разности количества вещества, продуцируемого источниками, и количества вещества, переносимого через границу области 5Q, в единицу времени. Знак «-» для потока вещества через границу Э£2 предпо­ лагает перенос вещества через границу изнутри области наружу

внаправлении вектора нормали п к внешней границе области 5£2 (однако поток при этом может иметь противоположный знак, так что фактически диффузия происходит извне внутрь области).

Согласно теореме Остроградского [19]

| (J n)dA = \( V J)dV ,

Q

здесь V • J = div J — дивергенция потока; J — скалярное произве-

рассматривать случай одномерной диффузии вдоль координаты х. По одну сторону мембраны (х = 0), назовем ее внешней (outer) стороной, поддерживается концентрация со, а по другую сторону (jc = Z,), назовем ее внутренней (inner) стороной мембраны, — кон­ центрация с .

Рис. 65. Перенос вещества через мембрану толщиной L

Граничные условия:

с(090 = со,с (1 ,0 = с(.

В стационарных условиях с не меняется во времени, следова-

дс

тельно, — = 0 . dt

Тогда, в силу уравнения диффузии, - — = D^-^r = 0.

дх дх

дс

Отсюда J = - D — = const и

дх

с(х) = ах+ Ь.

Подставляя граничные условия, найдем а и Ь: са = с(0) = a O +b^C; = c(L) = a-L +b.

трубки концентрация равна нулю, т. е. рассмотрим граничные условия

с(0 , t) = 0 , c(L, t) = 0 .

В начальный момент времени будем предполагать равномер­ ное распределение концентрации в трубке, т. е.

с(ху0) = со.

in

Ф , 0 ) =

1/2

Рис. 6 6 . Тонкая длинная трубка поперечного сечения S, в которой сво­ бодно двигаются частицы вещества концентрации и

Рассмотрим половину трубки, предполагая, что диффузия оди­ наково выводит вещество из трубки в противоположных направ­ лениях от центра. Вычислим количество вещества Со, которое должно диффундировать во внешнюю среду за искомое время Т, когда концентрация вещества в трубке также станет равна нулю:

Рассмотрим псевдостационарный поток, соответствующий начальной концентрации с \

и будем полагать, что этот поток будет сохраняться весь промежу­ ток времени Г, пока все вещество Со не выведется во внешнюю среду.

Тогда

откуда найдем T:

-л2 \_

Г =

D

Таким образом, характерное время диффузии пропорцио­ нально квадрату расстояния и обратно пропорционально коэф­ фициенту диффузии. Эта, вообще говоря, нестрогая формула позволяет оценить, можно ли в том или ином случае пренебречь нестационарной диффузией и использовать формулы для стацио­ нарного потока в моделях транспорта вещества.

6.2.Пассивный и активный транспорт

6.2.1.Пассивный транспорт. Облегченная диффузия

Термин «облегченная диффузия» (ОД) используется в различ­ ных ситуациях. Часто под ОД понимают диффузию вещества через мембрану, облегченную молекулами-переносчиками, встроен­ ными в мембрану, но обладающими подвижностью в ее пределах.

Другим примером ОД может быть транспорт ионов в клет­ ках, содержащих лиганды, связывающие эти ионы и способные диффундировать в клетке. Например, рассмотрим ОД кислорода в миоцитах (рис. 67).

Кислород поступает в клетку через мембрану, а затем диф­ фундирует во внутриклеточном пространстве в сторону митохон­ дрий (основное энергетическое «депо» клетки, где происходит синтез АТФ, для чего необходим постоянный приток кислорода). Поскольку мышечные клетки постоянно совершают механи­ ческую работу, то расход энергии (в данном случае гидролиз АТФ в клетке) очень велик, и для пополнения «энергоресурсов» приток кислорода к митохондриям должен быть достаточно интенсивным.