пособие мат.моделирование

ПД в нервных клетках, ставшую классической моделью в элек­ трофизиологии [46]. Они проводили свои работы на гигантском аксоне нейрона кальмара — нервных волокнах, идущих к мышцам кальмара, которые достигают в диаметре 1 мм (это в 50 раз больше диаметра самого толстого аксона млекопитающих, а по площади поперечного сечения аксоны кальмара превосходят аксоны млеко­ питающих в 2500 раз). В 1963 г. «за открытия, касающиеся ионных механизмов возбуждения и торможения в периферических и цен­ тральных участках нервных клеток», включая разработку мате­ матической модели, этими учеными совместно с Джоном Эклсом была получена Нобелевская премия по физиологии и медицине.

Значение модели Ходжкина — Хаксли (МХХ) выходит далеко за пределы собственно изучения ПД гигантского аксона каль­ мара. Ее идеи — основа моделей различных возбудимых клеток,

вчастности моделей электрической активности клеток сердечной мышцы.

Перейдем к рассмотрению МХХ. Основные ионные каналы

вгигантском аксоне кальмара, определяющие поведение мембран­ ного потенциала, — натриевые и калиевые. Хотя имеются и другие токи, прежде всего обусловленные ионами хлора, они в совокуп­ ности малы и в МХХ объединены в общий ток утечки.

Аналогично рассмотренной ранее электрической схеме мем­ браны с одним сопротивлением (см. предыдущий параграф), в электрической схеме МХХ рассматривается несколько сопро­ тивлений, через которые могут течь калиевый и натриевый токи, а также обобщенный ток утечки (рис. 81).

Для этой схемы записывается уравнение, в котором скорость изменения мембранного потенциала определяется суммой всех ионных токов через мембрану:

Cm^ - = - ( g ^ ( V - K * ) +g A V - V b ) + g L{ V - V L) + i^m). (196) at

Здесь, как и раньше, V = Vi - Ve — разность потенциалов на вну­ тренней и внешней поверхности мембраны; Ст — емкость мем­ браны; g Na, FNa, g K, VK— проводимости мембраны и равновесные

Если бы проводимости g Na, g K, g L имели постоянные значе­ ния, то линейное относительно V уравнение (197) описывало бы процесс экспоненциальной релаксации мембранного потенциала к равновесному значению причем с достаточно большой скоро­ стью, поскольку константа времени этого процесса т = Ст/ g при значениях проводимости в состоянии покоя имеет порядок 1 мс.

Именно так происходит при малых стимуляционных воздей­ ствиях, когда возмущенное значение потенциала не превышает порогового уровня. В этом случае в ответ на стимулирующее воз­ мущение потенциал очень быстро возвращается к исходному зна­ чению и потенциала покоя.

В случае когда возмущенное значение потенциала преодоле­ вает пороговый уровень, мембранный потенциал начинает изме­ няться практически независимо от стимула по собственному сце­

мости для ионных токов не есть постоянные величины, но сами зависят от мембранного потенциала.

А. Ходжкин и Э. Хаксли сумели измерить ионные токи при разных значениях постоянного мембранного потенциала и сумели определить вид зависимостей от потенциала соответствующих проводимостей в уравнении (200). Эти результаты обобщены в их классической работе 1952 г. [46].

Ионные токи в МХХ. Как зависят проводимости мембраны для ионов натрия и калия от величины мембранного потенциала и времени?

Существует экспериментальный метод фиксации напряжения на мембране (voltage clamp). Он обеспечивает создание на мем­ бране фиксированной разности потенциалов. Существуют веще­ ства, которые избирательно блокируют либо натриевые, либо кали­ евые каналы. Кроме того, можно использовать либо безнатриевые, либо бескалиевые растворы, чтобы исключить токи через соответ­ ствующие каналы. Таким образом, можно исследовать отдельно натриевый или калиевый токи, их кинетику в зависимости от мем­ бранного потенциала.

Было показано, что при возникновении потенциала действия существенно изменяется проводимость мембраны и для натрия, и для калия.

На рис. 82 показано семейство кривых, демонстрирующих зависимость проводимости от времени после ступенчатого изме­ нения напряжения на мембране на различную величину. Как видно, при ступенчатой деполяризации мембраны натриевая про­ водимость быстро нарастает, а затем падает до исходного уровня. Рост проводимости для калия имеет вид S'-образной кривой, кото­ рая выходит на постоянный уровень, зависящий от амплитуды изменения мембранного потенциала.

26-109 мВ

| 1 0 9 ^ —-----------

Рис. 82. Изменения натриевой (а) и калиевой (б) проводимости мембраны аксона кальмара при различных смещениях мембранного потенциала от уровня потенциала покоя. Цифрами обозначена величина деполяризации

Таким образом, экспериментальные данные ясно показывают, что проводимости для ионов натрия и калия есть функции мем­ бранного потенциала и времени.

Предположим, что каждая из проводимостей мембраны и для ионов N a\ и для К+ регулируется некоторыми управляющими частицами, перемещающимися в мембране при изменении элек­ трического поля. Канал находится в открытом состоянии и спо­ собен пропускать ионы только в том случае, когда все управляю­ щие частицы пребывают в определенном состоянии. Вероятность обнаружить каждую из управляющих частиц в требуемом для открытия канала положении зависит от мембранного потенциала и изменяется во времени в соответствии с собственным кинетиче­ ским уравнением. В результате в уравнении для соответствующего тока присутствует вероятность одновременного нахождения сово­ купности частиц в нужном состоянии, и в предположении их неза­ висимости эта вероятность равна произведению вероятностей для каждой частицы занять требуемое положение, что приводит к сте­ пенным функциям и делает зависимость тока от потенциала суще­ ственно нелинейной. В частности, в МХХ было предположено, что для калиевого канала четыре «-частицы управляют открытием канала, а для натриевого — три активирующие т-частицы и одна инактивирующая й-частица.

Описание калиевой проводимости вМХХ. В МХХ было предположено, что калиевая проводимость естьстепенная функ­ ция вида

можно интерпретировать как вероятность некой управляющей частицы находиться в состоянии, обеспечивающем открытие калиевого канала. Поэтому п называется калиевой активационной переменной.

При этом величина п (или доля частиц, занимающих требуе­ мое состояние) зависит от мембранного потенциала и удовлетво­ ряет линейному кинетическому уравнению

dn n - n ^ v )

где ^ (v ) и x(v) — функции, зависящие от величины v = V - Veq, т. е. от отклонения потенциала V от некоторого равновесного потенци­ ала V 9например, потенциала покоя или потенциала Нернста для ионов калия или потенциала, выбранного в качестве исходного в экспериментах со ступенчатым изменением потенциала, пока­ занных на рис. 82.

Напомним, что в этом уравнении при фиксированном зна­ чении потенциала n^iy) есть стационарное значение, к которому стремится п с константой времени x(v) при любом начальном зна­ чении п0 = п(0). Переход в стационарное состояние происходит тем быстрее, чем меньше величина т (рис. 83, левая панель).

п„ = —5»— , т = — !— .

Кинетические параметры ал, Рп есть потенциалзависимые кон­ станты скоростей переходов активационной частицы из состояния С, соответствующего закрытому состоянию канала, в состояние О, допускающее открытие канала (рис. 83, правая панель):

а„

С>

<-

Заметим, что выбор четвертой степени в формуле (198) для калиевой проводимости МХХ не был обусловлен физиологиче­ скими причинами, например, данными о наличии именно четырех управляющих частиц, отвечающих за открытие канала. Эта сте­ пень была найдена авторами, чтобы воспроизвести в модели сиг­ моидальный характер нарастания во времени проводимости при ступенчатом повышении потенциала и экспоненциальный харак­ тер возврата проводимости к исходному уровню при обратном

Пусть рассматривается ответ на скачок потенциала с Ve(j = 0 до некоторого значения V= v0, который затем удерживается постоян­ ным. Положим также для простоты, что п0 = 0. Тогда в соответст­ вии с уравнением (199) изменение во времени п описывается сле­ дующей функцией:

Это экспоненциальная функция с монотонно убывающим наклоном, а и4 обеспечивает сигмоидальный характер кривой.

Параметры ^ (v ) и x(v) были оценены при каждом фиксиро­ ванном vk из соответствующих экспериментов, показанных на рис. 82; таким образом были получены дискретные наборы точек V* ~п^(ук) и vk - т ( уД для которых затем были найдены наиболее подходящие непрерывные аппроксимирующие функции (рис. 83, левая панель).

7.3.3. Описание натриевой проводимости в МХХ

Из экспериментальной записи, представленной на рис. 82, видно, что в ответ на положительный скачок потенциала имеет место сначала довольно быстрое нарастание проводимости, а затем ее уменьшение. Это наводит на мысль, что в работе натри­ евого канала участвуют не только активационные переменные, открывающие канал, но и инактивационные переменные, которые переводят его в закрытое состояние.

Натриевая проводимость была представлена в МХХ в следу­ ющей форме:

(201)

где g Na — максимальная проводимость, константа; т — вероят­ ность того, что активационная частица находится в состоянии, соответствующем открытому каналу; h — вероятность того, что инактивационная частица не блокирует канал (инактивационная переменная).

В состоянии покоя т близка к нулю и быстро нарастает при отклонении мембранного потенциала от потенциала покоя, а А, напротив, близка к единице в покое, а при изменении потенциала ее величина уменьшается (т. е. канал переходит в инактивирован­ ное состояние).

Для управляющих переменных записываются соответствую­ щие кинетические уравнения:

^ = a*(vXl-A)-P*(v)A, at

где a m, Pm, aA, PA— функции мембранного потенциала (рис. 83, пра­ вая панель).

Собрав все уравнения для параметров проводимости кана­ лов и задав постоянную проводимость для тока утечки g L = const, получаем полную систему МХХ со следующим уравнением для мембранного потенциала v:

Cm^ = - ( g * y h(v - v^ ) +

где v = V - Veq, vNa = FNa - Veq, vK =VKVeq, vL =VLVeq — отклонения потенциала V и потенциалов Нернста VK, FNa, VL от потенциала равновесия V , а кинетические уравнения для переменных т9h и п представлены выше (см. формулы (2 0 0 ), (2 0 2 )).

Изложим некоторые результаты, вытекающие из анализа МХХ. При малых и кратковременных (подпороговых) токах сти­ муляции возмущенный мембранный потенциал быстро релаксирует к потенциалу равновесия veq = V(0) - Veq = 0, значение кото­ рого чуть выше величины vK= VK - V eq = - \2 m V . Это происходит в модели так же, как и в натурном эксперименте на аксоне кальмара.

Заметим, что vK< vL < vNa, это приводит к выполнению соот­ ношения vK< v < vNa, т. е. значение мембранного потенциала лежит всегда между потенциалами Нернста для К+ и Na+. Поэтому / Na < О всегда направлен внутрь клетки, а / к > 0 — наружу. Если бы S K и £ка были константами, то возвращение к состоянию равнове­ сия (veq = 0 ) происходило бы после прекращения стимулирующего тока с достаточно большой скоростью.

Реальная последовательность событий в ответ на надпороговый ток определяется динамикой величин т, h и п (рис. 84). Из рис. 83 видно, что тДу) при любом v намного меньше, чем тДу) и x„(v). Поэтому dm/dt меняется гораздо быстрее в ответ на измене­ ние v, чем dn/dt и dh/dt (рис. 84). При каждом текущем значении v фазовая переменная т достаточно быстро стремится к стационар­ ному значению m j y ) с характерным временем xm(v), а зависимость m j y ) является возрастающей с ростом v (см. рис. 83).

Итак, в первую фазу формирования ПД происходит следую­ щая цепь событий: стимул —>рост v (в силу выполнения уравнения (203)) —►рост т —►pocTgNa и соответствующего /Na —►дальнейший рост v (рис. 84, 85).

Если бы только т зависела от v, то потенциал постепенно вышел бы на стационарное значение, близкое к vNa (так как m jv) имеет горизонтальную асимптоту).

Однако /Na зависит также от величины инактивационной пере­ менной h. В состоянии покоя (v = 0) инактивационная компонента

поэтому приближение h к соответствующим значениям h^ проис­ ходит намного медленнее, чем стремление т к (см. рис. 83).