3.2. Вопросы для повторения.

1. Что называют моментом силы и какова единица его измерения в СИ?

2. Является ли момент силы относительно точки векторной величиной? Если да, то как он направлен?

3. Какая из двух величин является векторной: а) момент силы относительно точки; б) момент силы относительно оси? Дайте определение этих величин.

4. Дайте определение момента импульса относительно точки и момента импульса относительно точки, какова его единица измерения?

5. Что называют плечом силы?

6. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения? Какова единица измерения момента инерции в СИ?

7. Чему равен момент инерции твердого тела относительно оси вращения?

8. Сколько значений момента инерции может иметь данное тело?

9. Сформулируйте и запишите основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

10. Какие характеристики вращательного движения аналогичны массе и силе, характеризующим поступательное?

11. На тело с моментом инерции 2 действует вращательный момент 8Н м. С каким угловым ускорением будет вращаться тело?

3.3. Что надо уметь:

2.2.1. Определять направление векторов сил, действующих на данное тело.

2.2.2. Находить проекции векторов на оси.

2.2.3. Составлять векторное уравнение II закона Ньютона и ре­шать его в проекциях.

2.2.4. Использовать формулу Штейнера для определения момента инерции тел относительно любой оси.

3.4. Примеры решения задач

В задачах на применение II закона Ньютона как для поступательного так и вращательного движения, в отличие от задач по кинематике, всегда упоминаются либо силы, либо массы, либо моменты инерции тел.

В этом разделе мы будем рассматривать задачи на вращательное движение твердых тел.

Задачи по этой теме решаются по такому же плану что и в предыдущем разделе:

1. Выявить все тела, воздействующие на данное и заменить воз­действие тел силами (сделать чертеж).

2. Определить направление результирующего ускорения.

3. Записать векторное уравнение II закона Ньютона.

4. Выбрать ось ОХ вдоль направления ускорения, ОУ перпенди­кулярно ему и найти проекции всех сил на эти оси.

5. Алгебраическую сумму проекций по оси ОХ приравнять к , по ОУ - к нулю.

6. Получившуюся систему уравнений решить относительно ис­комого неизвестного, используя, если нужно, формулу и формулы кинематики

Если в задаче рассматривается движение нескольких связанных тел, то нити считаются нерастяжимыми и невесомыми, следователь­но, ускорения всех этих тел по модулю равны (т.е. нить меняет на­правление ускорения, а не его численную величину). При решении таких задач план решения применяется к каждому телу, затем решается система всех получившихся уравнений.

Если в задачах рассматривается одновременно и поступательное, и вращательное движения, то к уравнениям в проекциях для посту­пательного движения записывается формула II закона Ньютона для вращательного движения

Задача 3.4.1(а) На обод маховика диаметром 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Определить мо­мент инерции J маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t=3 с приобрел угловую скорость = 9рад/с.

Дано: D=60 см, m=2кг, t=3 с,R =0,3 м, = 9рад/с.

J-?

Анализ и решение

Выберем осьX верти­кально вниз по направ­лению ускорения груза. mg – Т=.

Для маховика: , причем

Поскольку М = TR, a или, т. к.

и , то-Т=Подставим значение силыТ в основное уравнение вращательного движения, учитывая, что М = TR .

то ем с адачей, т.е. сила Т2) 00000000000000 (mg-R) R=J;

J=

= 1,78(кг)

Проверим единицы измерения:

.

Задача 3.4.2(6) Однородный диск радиусом R=0,2 м и массой =5кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости. Зависимость угловой скорости от времениt да­ется уравнением=A + Bt, где В=8 рад/. Найти касательную силу, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

Дано: R=0,2 м; =5кг; =A + Bt; В=8 рад/.

F-?

Анализ и решение:

Основное уравнение динамики вращательного движения . Момент силы создается силойF: M=FR, а угловое ускорение ; момент инерции диска;

; (Н)

Задача 3.4.2(в) Маховик радиусом R=0,2 м и массой =10 кг соединен с мотором при по­мощи приводного ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения, Т=14,7 Н. Какую частоту вращения п будет иметь маховик через время t=10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.

Дано: R=0,2 ; =10 кг; Т=14,7 Н , t=10 с.

n - ?

Анализ и решение:

Основной закон динамики вращательного движения .

Но M=TR; ; ;

; ;

23,4 (об/с).

Задача 3.4.2(г) По касательной к шкиву маховика диаметром D=75 см и массой =40кг приложена сила F=l кН. Определить уг­ловое ускорениеи частоту вращенияn маховика через время t=10 с после начала действия силы, если радиус r шкива равен 12 см. Си­лой трения пренебречь.

Дано: D=75 см=0,75 м; =40кг; F=lКн =Н;t=10 с; к=12см=0,12м.

-?; n-?

Анализ и решение:

r ,M=F ; ;

R =;

(рад/)

; ; (об/с).

Задача 3.4.2(д) К ободу однородного диска радиусом R=0,2 см при­ложена касательная сила F=98,l H. При вращении на диск действует момент сил трения = 4,9. Найти массуm диска, если извест­но, что диск вращается с угловым ускорением = 100рад/.

Дано: R=0,2 см; F=98,l H; = 4,9,= 100рад/.

m-?

Анализ и решение:

С учетом момента сил трения

M=FR-. Но,,

FR-.

7,36 кг.

При решении задач (2.4.2.) мы пользовались табличным значени­ем момента инерции тел правильной геометрической формы.

Для других тел можно определить момент инерции, используя об­щую формулу , кроме того, для определения моментов инерции для любых осей нужно использовать формулу Штейнера.

Задача 3.4.2(е) Определить момент инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии. Масса муфты =2 кг,внутренний радиус =0,03 м, внешний R=0,05 м.

Дано: =2 кг,=0,03 м, R=0,05 м.

J -?

Анализ и решение:

Воспользуемся общей формулой мо­мента инерции

. Учтем, что ,

где - плотность мате­риала муфты,dV - ее объем. Объем можно определить, как произ­ведение площади поверхности цилинд­ра на толщину

слоя .

= , где,

а .

кг

Задача 3.4.2(ж). Определить момент инерции вала массой m=5кг и радиусом R=0,1 м относительно оси, параллельной его оси симметрии и удаленной от нее на d= 10 см .

Дано: m=5кг , R=0,1 м, d= 10 см.

J-?

Анализ и решение:

Воспользуемся формулой Штейнера . Так как момент инерциивала,

То

= 0,051 ()

Задачи по теме 3.3.3. решаются с учетом формул периода колебаний математического и физического маятников. Подробно на решении та­ких задач мы остановимся при рассмотрении темы «Колебания».