5.8.4 Разбиение на простейшие дроби

Как видно изпримера5.2, решениедифференциальногоуравнения, полученное с использованиемпреобразования Лапласа, представляетсобойрациональнуюдробь. Для облегченияобратногопреобразованияполученнуюдробьнеобходиморазложить на простейшие дроби, пользуясьследующим правилом.

Дробь (34)

называетсяправильнойрациональнойдробью, если порядок числителяменьше, чем порядок знаменателя. Для разложения дроби (34) необходимо найти корни уравненияЕсликореньдействительный, то емусоответствуетдробьвида

Если корни действительныекратности k, то имсоответствуетсумма дрожей

Если корни комплексно сопряженные, то

Если корни комплексно сопряженныекратности k, то

Таким образом, дробь (3.34) можно представить в виде

(35)

Коэффициенты А₁, ..., А_k; В₁, ..., В_m; С₁, ..., С_p; D₁, ..., Dp; F₁, ..., F_q; Е₁, ..., Е_qнаходятся методом неопределенныхмножителей. В этомслучаеправаячасть (35) приводится к общемузнаменателю и получаетсяравенстводвухдробей, у которыхзнаменателиравны, следовательно, должныбытьравны и числители. Изравенствапоследнихсоставляется система алгебраическихуравнений для определениянеизвестныхкоэффициентов, котораярешаетсяизвестными методами решениялинейныхалгебраическихсистем.

При определенииоригинала по полученномуизображениюпользуютсяследующими формуламисоответствия:

Пример 5.3 Найти оригинал, еслиизображение

Данноеизображениераскладывается на простейшие дроби:

Праваячастьпоследнеговыраженияприводится к общемузнаменателю, и изусловияравенствачислителейполучают:

Изравенствакоэффициентов при соответствующих степенях s в левой и правойчастяхзаписываетсясистема алгебраическихуравнений:

решениекоторойдает А 1 = – 2/9; A 2 = 1/3; А 3 = –1; В = 2/9. Таким образом,

Применяяобратноепреобразование, записываетсявыражение для оригинала:

5.9 Передаточная функция.

Однойизосновных характеристик объектауправления, используемой в теорииавтоматическогоуправления, являетсяпередаточнаяфункция, записываемая в терминахпреобразования Лапласа.Передаточнойфункциейобъектаназываетсяотношениепреобразованного по Лапласу выходаобъекта у(s) к преобразованному по Лапласу входу х(s) при нулевыхначальныхусловиях.Передаточнаяфункцияопределяетсятольковнутреннимисвойствамисистемы, являетсяфункциейкомплексного переменного и обозначается:

(36)

Передаточнаяфункцияхарактеризуетдинамикуобъектатолько по определенному каналу, связывающемуконкретныйвходобъекта и конкретныйвыход (рис. 5.13).Еслиобъектимеетнескольковходов и выходов, то он характеризуетсянесколькимипередаточнымифункциями, определитькоторыеможнонепосредственно, пользуясьопределением (36).

Рис. 5.13 Примерыразличныхобъектов:

а – с одним входом и одним выходом; б – двумя входами и одним

выходом; в – двумя входами и двумявыходами

Пример 5.4Пусть на входобъектаподается сигнал x(t) = 1(t), а на выходеснимается сигнал, описываемыйфункцией.Для определенияпередаточнойфункциинеобходимоопределитьи тогдапередаточнаяфункция

Как и дифференциальноеуравнение, передаточнаяфункцияполностьюхарактеризуетдинамикулинейногообъекта. Если задано дифференциальноеуравнениеобъекта, то для полученияпередаточнойфункциинеобходимопреобразоватьдифференциальноеуравнение по Лапласу и изполученногоалгебраическогоуравнения найти отношениеВ общемслучаедифференциальноеуравнениеобъектапредставляется в виде(36, a)

где– постоянныекоэффициенты.Послепреобразования по Лапласу при нулевыхначальныхусловияхполучают:

или

и тогда

(37)

Еслиизвестнапередаточнаяфункцияобъекта, то изображениевыходаобъекта у(s) равнопроизведениюпередаточнойфункции на изображениевхода x(s):

(38)

Последняязаписьесть не чтоиное, какобщая форма записи решениядифференциальногоуравненияв операторнойформе.Таким образом, передаточнаяфункцияравнаотношениюдвухполиномов:

где

Для реальныхфизическихобъектовможноотметитькакхарактернуюособенностьтот факт, чтостепеньполинома В(s) всегдаменьшеилиравнастепениполинома A(s), т.е. n m ≤ , так что

Передаточнаяфункциятакжевзаимно однозначно связана с временными характеристиками.Еслиимеетсявыражение для переходнойфункции, следовательно, входной сигнал x(t) = 1(t) иливыходной сигнал y(t) = h(t) или y(s) = h(s), и тогдапередаточнаяфункцияравна:

(39)

Из (39) можетбытьполученовыражение для переходнойфункции через преобразование Лапласа:

(40)

Еслиизвестновыражение для весовойфункции, то входной сигнал x(t) = δ (t) или x(s) = 1, выходнойсигнал w(t) и, следовательно,

(41)

т.е. выражение для передаточнойфункцииесть не чтоиное, какпреобра-

зованиелапласа от весовойфункции.

Пример 5.5Пустьобъектописываетсядифференциальнымуравнением

.Найти h(s) и w(s).

Применяяпреобразование Лапласа: определяемпередаточную функцію

Переходнаяфункция

Весовая функція