22. Вычисление длины дуги плоской кривой

1 случай. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая . Вычислим длину дуги кривой, заключенной между точкамии(рис. 12).

Возьмем на дуге точкис абсциссамии проведем хорды, длины которых обозначим соответственно. Тогда получим ломанную, вписанную в дугу. Длина ломанной равна

.

Определение. Длиной дугиназывается тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

.

Длина всей дуги , заключенной между точкамии, вычисляется по формуле

.

Пример 16. Найти длину окружности .

Решение. Вычислим сначала длину четверти окружности, расположенной в 1 четверти.

 Из уравнения окрежности ,.

Тогда .

Длина всей окрежности

Ответ: (лин.ед).

23. Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси

Пример 1

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями ,вокруг оси.

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости необходимо построить фигуру, ограниченную линиями,, при этом не забываем, что уравнениезадаёт ось. Как рациональнее и быстрее выполнить чертёж, можно узнать на страницахГрафики и свойства Элементарных функцийи Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Это китайское напоминание, и на данном моменте я больше не останавливаюсь.

Чертёж здесь довольно прост:

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси. На самом деле у тела есть математическое название, но по справочнику что-то лень уточнять, поэтому едем дальше.

Как вычислить объем тела вращения?

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

В формуле перед интегралом обязательно присутствует число . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболысверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат:, таким образоминтеграл всегда неотрицателен, что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

Ответ: 

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубическиеединицы? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.

24. Определение двойного интеграла

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных  z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как

где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл от функции одной переменнойвыражает площадь под кривойf (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1).

Рис.1

25.  Геометрический смысл двойного интеграла. Если  f(x,y) ?0 в области D, то двойной интеграл (1) равен объему “цилиндрического” тела, изображенного на рис.1:

  V = (2)

            Пояснение. Цилиндрическое тело ограничено снизу областью D, сверху - частью поверхности z=f(x,y), с боков - вертикальными отрезками прямых, соединяющих границы этой поверхности и области D.

26. Основные свойства двойного интеграла:

1. Постоянный множитель выносится за знак интегр.

2. Интеграл от суммы равен сумме интегралов

3. Если область D разбить на 2 части, то

27. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть требуется вычислить двойной интегр. Где ф-ция f(x;y) непрерывна в области D

Пусть область D представляет собой криволин. Трапецию ограниченную кривыми и прямыми D: ;x=a; x=b

Такая область правильная в направлении оси OY, то есть любая прямая параллельная OY пересекает границу области на более чем в 2-х точках

Если область правильная, тогда вычисление 2-го интегр. сводится к вычислению двукратного (повторного) интеграла.

28. Замена переменной в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Заменим независимые переменные х и у через функцию ;, если эти функции имеют в некоторой областинепрерывные частные производные и отличный от нуля определитель

А f(x;y) интегрируема в области D, тогда имеет место замена переменных

I(u;v) – определитель Якоби (якобиан)

Пусть в полярных координатах

x=rcosφ

y=rsinφ

I(φ;r)=-r

Пусть область ограничена лучами,и кривыми

29. Физические приложения двойного интеграла

Физический смысл двойного интеграла заключен в нахождении массы плоской пластины

30. Определение криволинейного интеграла 1 рода

Если существует предел интегральной суммы, который не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора в них точек, то он называется криволинейный интеграл от ф-ции f(x;y) по длине кривой AB

31. Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода

1. Постоянный множитель выносится за знак интегр.

2. Интеграл от суммы равен сумме интегралов

3. Если кривую АВ разбить на части такие, что их объединение = АВ и они имеют только 1 общую точку разделяющую их, тогда

4. Криволинейный интеграл 1-го порядка не зависит от направления пути направления кривой

32. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода

а. Параметрическое представление кривой

б. Явно заданная функция

33. Приложения криволинейного интеграла 1 рода

1. Длина кривой

2. Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая АВ, а образующая параллельна оси OZ, то площадь такой поверхности z=f(x;y) вычисляется по формуле

3. Масса плоской кривой (провод)

4. Статические моменты

5. Координаты центра тяжести

6. Момент инерции

34. Определение криволинейного интеграла 2 рода

Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой.  В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.

Введем векторную функцию F(P;Q;R), определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции

существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называетсякриволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривойC и обозначается как

35. Основные свойства криволинейного интеграла 2 рода

1. Если в КИ2 изменить направление интегрирования, то он поменяет знак на противоположный

2. Если кривая АВ разбита точкой С на части, то

3. Если кривая лежит в плоскости перпендикулярной ОХ, то

Аналогично для OY

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода прямой

36. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

а. Параметрическое представление кривой

б. Явно заданная функция

37. Приложения криволинейного интеграла 2 рода

C помощью криволинейных интегралов вычисляются:

- Масса кривой

- Центр масс и моменты инерции кривой

- Работа при перемещении тела в силовом поле

- Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера)

- Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея)

38. Формула Остроградского-Грина

Пусть на плоскости OXY задана область D, ограниченная кривой пересекающейся с прямыми параллельными координатным осям не более чем в 2-х точках то есть, область D правильная.

Если ф-ции P(x;y) и Q(x;y) непрерывны вместе со своими частными производными в области D, то имеет место формула:

39. Основные понятия о дифференциальных уравнениях (определение, решение, порядок, обыкновенные ДУ, ДУ в общих производных, вид, общее решение, частные решения, начальные условия, задача Коши)

40. ДУ с разделяющимися переменными

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка существуют такие, в которых возможно переменные x и y разнести по разные стороны знака равенства. В уравнениях вида переменные уже разделены, а в ОДУпеременные разделяются посредством преобразований. Кроме того, некоторые дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными после введения новых переменных.

41. Однородные ДУ 1-го порядка

ДУ вида – однородныеn-го порядка, если при умножении каждого элемента функции на множитель t вся функция умножится на

42. Линейные ДУ 1-го порядка. Метод вариации произвольной постоянной

Линейные ДУ 1-го порядка имеют такой вид

Характерная особенность – функция и ее производные входят в уравнение в 1 степени и между собой не перемножаются

Метод Лагранжа (Метод вариаций произвольной постоянной)

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную С в полученном решении заменяем С=с(x), тогда решение исходного уравнения будем искать в виде

После находим производную и подставляем в исходное уравнение

43. Линейные ДУ 1-го порядка. Метод Бернулли

Линейные ДУ 1-го порядка имеют такой вид

Характерная особенность – функция и ее производные входят в уравнение в 1 степени и между собой не перемножаются

Метод Бернулли

Решение данного уравнения ищется в виде производной 2-х функция то, есть с помощью подстановки

y=U*V, где U=u(x) и V=v(x)

Подставим выражение для y и в исходное уравнение

Сгруппируем 1 и 3 слогаемые, или 2 и 3 и вынесем общий множитель за скобки

(*)

Функцию v подберём таким образом, чтобы выражение в скобках было равно нулю

–уравнение с разд. переменными, получаем:

Подставляем полученное в уравнение (*), учитывая, что выражение в скобках равно нулю

Ответ:

44. ДУ высших порядков, допускающие понижения порядка. ДУ вида

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где– производная «энного» порядка, а правая частьзависиттолько от «икс». В простейшем случае может быть константой.

Данное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием правой части. Причём интегрировать придется ровно раз.

На практике наиболее популярной разновидность является уравнение второго порядка: . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение. Уравнение третьего порядканеобходимо проинтегрировать трижды, и т.д.

45. ДУ высших порядков, допускающие понижения порядка. ДУ вида

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой. Тогда уравнение примет вид

Из последнего уравнения, если это возможно, определяем , а затем находимиз уравненияk-кратным интегрированием.

46. ДУ высших порядков, допускающие понижения порядка. ДУ вида

Отличительная особенность данного диффура состоит в том, что в нём в явном виде отсутствует независимая переменная «икс». То есть, в исходном дифференциальном уравнении нет «икса».

Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этомрассматривается как новая неизвестная функция от. Все производныевыражаются через производные от новой неизвестной функциипо

Подставив эти выражения вместо в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n–1)-го порядка

47. Линейные однородные ДУ второго порядка. Определитель Вронского. Структура общего решения

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.  Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа. 

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

48. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Эйлер предложил искать частные решения в виде:

k – некоторое число

–характеристическое уравнение

Случ.1 D>0 =>

Общее решение записываем в виде

Случ.2 D=0 =>

Случ.3 D<0 =>

49. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай

Общее решение ЛНДУ выглядит так:

Для ЛНДУ с правой частью специального вида частное решение можно найти пользуясь методом неопределённых коэффициентов. Суть метода: по виду правой части уравнения запишем ожидаемую форму частного решения с неопределённым коэффициентом, затем дважды её продифференцируем и полученные выражения подставим в исходное уравнение после чего найдём неопределённые коэффициенты

Частное для такого уравнения будет находиться в виде

r – число равное кратности α, как корня характеристического уравнения

а. Если

б. Если

в. Если

50. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай

Общее решение ЛНДУ выглядит так:

Для ЛНДУ с правой частью специального вида частное решение можно найти пользуясь методом неопределённых коэффициентов. Суть метода: по виду правой части уравнения запишем ожидаемую форму частного решения с неопределённым коэффициентом, затем дважды её продифференцируем и полученные выражения подставим в исходное уравнение после чего найдём неопределённые коэффициенты

l = max (n;m)

r – число равное кратности как корень характеристического уравнения