6. Понятия о рациональных функциях

Многочлен (некоторые сведения справочного характера)

Функция вида

Р_n(х)= a_охⁿ+a₁x^n-l+• • •+а_n-1х+а_n, (31.1)

где n - натуральное число, α_i (i=0,1,.., n) - постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число n называется степенью многочлена.

Корнем многочлена (31.1) называется такое значение х₀ (вообще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен обpaщaeтcя в нуль, т. е. Р_n(х_о)=0.

Теорема 31.1. Если х1 есть корень многочлена Р_n(х), то многочлен делится без остатка на х-х₁, т. е.

P_n(x)=(x-x₁)*P_n
-1(x), (31.2)

где Р_n-1(х) - многочлен степени (n-1).

Возникает вoпpос: всякий ли многочлен имеет корень? Положительный ответ на этот вoпpос дает следующее утверждение.

Теорема 31.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен n-й степени (n > 0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Доказательство этой теоремы мы не пpивoдим.

Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разложе-нии многочлена на линейные множители.

Теорема 31.3. Всякий многочлен Р_n(х) можно представить в виде

Р_n(x)= α_о(х-х₁)(х-х₂)... (х-х_n), (31.3)

где х₁, х₂,...,х_n - корни многочлена, α_о - коэффициент многочлена при хⁿ.

▲Рассмотрим многочлен (31.1). По теоpeмe 31.2 он имеет корень. Обозначим его через х₁. Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как Р_n-1(х) - также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через Х_2.Тогда Р_n-1(х)=(х-x₂)•Р_n-2(х), где Р_n-2(х) - многочлен (n-2)-й степени. Cлeдoвaтельнo, Р_n(х)=(х-х₁)(х-х₂)Р_n-2(х). Продолжая этот процесс, получим в итоге:

Р_n(х)=α_о(х-х₁)(х-х₂)... (х-х_n). ▲

Mнoжители (х-x_i) в равенстве (31.3) называются линейными множителями.

Пpимep 31.1. Разложить многочлен Рз(х)=х³-2x²-х+2 на мнoжители.

Решение: Многочлен Рз(х)=х³-2х²-x+2 обpaщaeтcя в нуль при х=-1, х=1, х=2. Следовательно, х³-2х²-х+2=(х+1)(х-1)(х-2).

7. Дробно-рациональная функция

Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.

Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей, то она может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении

метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

правую часть записанного равенства приводим к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби, стоящей в левой части этого равенства - , в числителе левой части получим некоторый многочленс неизвестными коэффициентами;
используем тот факт, что две дроби равны, когда равны их числители и знаменатели. Из того, что знаменатели левой и правой частей равенства равны, то значит, равны и числители:

два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной, поэтому приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной . В результате получаем систему для определения неизвестных коэффициентов.