Министерство образования и науки Украины

Министерство образования и науки АРК

Крымский инженерно-педагогический университет

Кафедра информационно-компьютерных технологий

Методическое пособие

по дискретной математике

«Булевые функции и К-значная логика»

для студентов 1 курса дневной и заочной формы обучения

Составители: Сейдаметова З.С., д.пед.н., проф.

Сейдаметова С.М., к.пед. н., доц.

Симферополь, 2010

Печатается по решению кафедры Республиканского высшего учебного заведения «Крымский инженерно-педагогический университет» (Протокол №2 от 27.09.10)

Рецензенты:

Темненко В.А., к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики Таврического национального университета им. В.И. Вернадского.

Крылов В.С., к.б.н., ст. преп. кафедры информационно-компьютерных технологий РВУЗ «КИПУ»

Составители:

Сейдаметова З.С., д.пед.н., проф., зав. кафедрой информационно-компьютерных технологий РВУЗ «КИПУ»

Сейдаметова С.М., к.пед.н., доц. кафедры информационно-компьютерных технологий РВУЗ «КИПУ»

Содержание

Часть 1 4

Функции алгебры логики. 4

1. Основные элементарные булевы функции. Основные свойства. Существенные и фиктивные переменные. Способы задания. 4

2. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Полином Жегалкина. Двойственные и самодвойственные функции. 8

3. Линейные и монотонные функции. Функции, сохраняющие константу. Самодвойственные функции. Замкнутые классы и полные системы в . 10

4. Минимизация булевых функций. 15

Основные формулы функции алгебры логики 17

Часть 2 18

k - значная логика 18

1. Функции k-значной логики. 18

2. Элементарные функции в Pk 18

3. Основные свойства элементарных функций. 22

4. Аналог совершенной ДНФ в Pk. (Первая форма) 24

5. Разложение функции в полином 28

6. Полные системы функций в Pk 31

7. Замкнутые системы в Pk 33

Рекомендуемая литература: 34

Приложение 35

Содержание дисциплины «Дискретная математика» для студентов заочной формы обучения 35

Перечень вопросов к экзаменационным билетам: 37

Часть 1

Функции алгебры логики.

1. Основные элементарные булевы функции. Основные свойства. Существенные и фиктивные переменные. Способы задания.

Опр1. Функция , определенная на множестве и принимающая значения из

множества {0,1} , называется функцией алгебры логики или булевой функцией.

Множество всех булевых функций обозначается .

Элементарные булевы функции:

-одной переменной:

1. -нуль функция; 2. - единичная функция;

3. {; 4. -тождественная функция;

Таблица 1.

x	0	1	x
0	0	1	0	1
1	0	1	1	0

-двух переменных:

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Функциональные символы:

& - конъюнкция; V - дизъюнкция; -сумма по модулю 2; ~ - эквивалентность; -импликация; - стрелка Пирса; | - штрих Шеффера; - функция Вебба .

Основные свойства элементарных функций:

1. Коммутативность:

; ; ; ; ; .

2. Ассоциативность:

; ; ;

.

3. Дистрибутивность:

- конъюнкция относительно дизъюнкции;

- дизъюнкция относительно конъюнкции;

- конъюнкция относительно смещения по модулю 2 .

4. Принципы де Моргана:

5. Операция отрицания:

6.

Опр2. a) Пусть H P . Формулой будем называть любую функцию из множества .

Например, любая элементарная функция - формула .

b) Рассмотрим набор функций и рассмотрим функцию

- формула

Формула представляет собой некоторую булеву функцию от совокупного множества переменных.

Опр3. Формула называется тождественно истинной (тождественно ложной), если реализуемая ею функция равна 1 (соответственно 0).

Опр4. Пусть заданна функция -функция от n переменных. Переменная называется существенной, если существует такой набор (из 0 и 1) значений переменных , для которого . В противном случае переменная называется фиктивной.