2. Набор операций для множеств

Набор операций называют функционально полным, если он позволяет реализовать любой алгоритм вычислений. Выбор функционально полного набора операций не является однозначным. Следующий вариант такого выбора хотя и является избыточным, но удобным для вычислений:

- операция проверки принадлежности объекта данному множеству;

- операция включения нового элемента множества;

- операция исключения элемента из множества;

- операция объединения;

- операция пересечения;

- операция дополнения.

Проверка принадлежности

Результатом выполнения операции xA является логическое значение "Истина", если x принадлежит множеству A и значение "Ложь", если нет.

Включение

Операция обозначается как A+x или Ax , результатом является множество, в которое добавлен элемент x.

Исключение

Операция обозначается как A - x или A \ x . Результатом формируется путем исключения x из множества A. Если xA, результатом является множество A.

Объединение

Операция обозначается как AB. Результатом является множество, в которое включены все элементы из A и из B: AB = {x | xA или xB}.

Пересечение

Операция обозначается как AB. Результатом является множество, в которое включены только те элементы, которые принадлежат множеству A и, в то же время, множеству B:

AB = {x | xA и xB}.

Дополнение

Операция обозначается как A. Результатом является множество, в которое включены те элементы универсума, которые не принадлежат A: A = {x | xU и xA }. Эта операция определена только лишь в том случае, когда задан универсум.

3. Алгоритмы выполнения основных операций над множествами и их эффективность

Проверка принадлежности

Множество представлено битовым вектором

Проверка отношения xA . Под А будем понимать заданное множество и, в то же время, бинарный код этого множества. Эта операция сводится к считыванию из битового вектора значения бита номер x. Обозначим его через qx.

Пусть M = |U| . В качестве массива-носителя B бит. вектора выберем массив с элементами типа unsigned short (16 бит). Размер n массива B будет равным:

m = M/16+1 . (1)

Определим константу bit:

const unsigned short bit = 0x8000;

Она содержит единственный единичный бит в первой слева позиции 16-битового значения. Вычисление qx сводится к выполнению след. операций:

j=i/16; k=i%16;

qx = B[j] & (bit>>k);

Отсюда время выполнения этой операции равно: t = Const .

Это время не зависит ни от размера множества А, ни от размера универсума U.

Множество представлено одномерным массивом

Проверка отношения xA. Значение x поочередно сравнивается с элементами мн-ва A. Отсюда:

t = Const ∙n .

где n = |A| .

Множество представлено упорядоченным массивом

Использование алгоритма бинарного поиска дает:

t = Const ∙log(n) .

Включение

Множество представлено битовым вектором

Рассмотрим алгоритм включения элемента x в множество A, т.е. алгоритм выполнения операции A+x , где А – множество, x – добавляемый элемент. Операция сводится к установке бита с номером, равным x, в 1. Вычисления сводятся к выполнению след. операций:

j=i/16; k=i%16;

qx = B[j] || (bit>>k);

Отсюда время выполнения этой операции также равно: t = Const .

Множество представлено одномерным массивом

Операция A+x . Включаемый элемент x вносится в мн-во A в том случае, если он там не содержится. Отсюда имеем:

t = Const ∙n .

Множество представлено упорядоченным массивом

Эта операция содержит два шага:

- проверить, содержится ли заданное x в мн-ве А,

- если содержится, то вставить его в А, не нарушая порядка.

Определяющим (более медленным) является второй шаг. Для времени имеем:

t = Const ∙n .

Исключение

Множество представлено битовым вектором

Исключение элемента x из множества A сводится к установке бита с номером , в 0. Вычисления сводятся к выполнению след. операций:

bit = ~ (bit>>k);

j = i/16; k = i % 16;

qx = B[j] & bit;

Отсюда время выполнения этой операции также равно: t = Const .

Множество представлено одномерным массивом

Операция A-x может быть реализована такими операторами:

for (i = 0; i < n; i++) if (x == A[i]) break;

for (k = i; k < n-1; k++) A[i] = A[i+1];

Время выполнения обоих циклов будет равно:

t = c₁n₁+c₂n₂ ,

где c₁ - время выполнения операции сравнения, c₂ - время выполнения операции присваивания (пересылки), n₁ – к-во итераций первого цикла, n₂ – к-во итераций второго цикла. Пусть c = max(c₁,c₂), тогда, учитывая, что n = n₁+n₂, получаем:

t ≤ Constn .

Множество представлено упорядоченным массивом

Алгоритм такой же, как и для представления мн-ва неупорядоченным массивом. Для снижения времени можно использовать алгоритм бинарного поиска, однако порядок алгоритма остается таким же:

t ≤ Constn .

Объединение

Множество представлено битовым вектором

Определение операции объединения: AB = { x | xA или xB } .

Операция сводится к поэлементному выполнению операции дизъюнкции над парами соответствующих битов. Реализовать это можно следующим образом:

for (i = 0; i < m ;i++) C[i] = A[i] || B[i];

Здесь символы A,B,C используются как имена множеств и, в то же время, как имена соответствующих массивов-носителей.

Т.к. m и N связаны линейным соотношением (1), то при достаточно больших N будем иметь:

t = Const ∙N .

Множество представлено одномерным массивом

Операция AB. Пусть n_A = |A| , n_B = |B|. Данную операцию можно рассматривать как последовательность операций включения: для каждого элемента мн-ва В необходимо выполнить операцию вкючения его в м-во А. Т.к. операция включения требует линейного времени, имеем:

t ≤ Constn_An_B .

Множество представлено упорядоченным массивом

Можно использовать идею алгоритма слияния, которая используется для сортировки. Тогда упорядоченность массивов, представляющих множества, дает алгоритм с временем:

t = Const (n_A+n_B) ,

т.е. имеем линейный по времени алгоритм.

Пересечение

Множество представлено битовым вектором

AB = { x | xA и xB } .

Реализация этой операции выглядит так:

for (i = 0; i < m; i++) C[i] = A[i] & B[i];

и время выполнения этой операции такое же:

t = Const ∙N .

Множество представлено одномерным массивом

Операция AB. Здесь ситуация похожая: для каждого элемента мн-ва А необходимо проверить принадлежность его к мн-ву В. Отсюда:

t ≤ Constn_An_B .

Множество представлено упорядоченным массивом

Для пересечения легко строится алгоритм со временем:

t = Const (n_A+n_B) ,

Дополнение

Множество представлено битовым вектором

I ─ A

Алгоритм выполнения этой операции:

for (i = 0; i < m; i++) B[i] = ~ A[i];

И время равно

t = Const ∙N .

Множество представлено одномерным массивом

Для получения результата необходимо из универсума поочередно извлечь все элементы мн-ва А. Отсюда получаем: t = ConstnN .

Множество представлено упорядоченным массивом

Упорядоченность массивов-носителей не улучшает время выполнения этой операции:

t = Const ∙n∙N .

Эффективность выполнения операций над множествами для различных реализаций

Указаны оценки времени выполнения алгоритма в среднем

	Битовый вектор	Не упорядоч. мн-во	Упорядоч. мн-во
xA ?	(1)	(nA)	(log(nA))
A + x	(1)	(nA)	(nA)
A – x	(1)	(nA)	(nA)
A  B	(N)	(nA∙nB)	(nA+nB)
А  В	(N)	(nA∙nB)	(nA+nB)
A	(N)	(nA∙N)	(N)

где n - число элементов множества X.