11_-_chislennye_metody
.pdf
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
Численные методы
Задание 1. Найти приближенное решение нелинейного уравнения 2 – 0
Способ 1. «Графический»
Построим на листе Excel таблицу для значений аргумента х и функции y x 2 lg x – x
Построим график на основе этих данных: |
Из графика видно, что 0 при 1,75
Способ 2. «Подбор параметра»
Введем на листе Excel в ячейку С2 произвольное значение аргумента х, например 1, и используя это значение рассчитаем в другой ячейке значение функции у(х)= 2 - lg x – x
Используем средство Excel «Подбор параметра» для того чтобы установить в ячейке расчета значения функции значение 0, изменяя ячейку, содержащую значение х
Решение найдено:
Способ 3. «Метод бисекций»
Идея состоит в том, чтобы на каждом шаге в два раза сужать интервал, внутри которого находится корень уравнения, таким образом, чтобы корень оставался внутри. Если разделить интервал, содержащий корень пополам точкой , то корень уравнения будет лежать либо в интервале
, , либо в интервале , . В первом случае будет выполняться условие 0, во
втором случае - 0. В зависимости от этого новым интервалом , становится либо интервал , , либо интервал , . Вычисления заканчиваются при достаточном сужении интервала.
Из графика видно, что корень уравнения лежит в интервале 1,5; 2,0 . Рассчитаем корень
уравнения с точностью 0,00001
Создадим функцию у(х) и процедуру для нахождения корня:
Індивідуальні завдання
|
Для кожної функції визначити числовий проміжок у якому міститься один корінь рівняння, |
|||||||||||
уточнити значення кореня вказаними вище методами. |
|
|
|
|
|
|||||||
1.3.1 |
1.3.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
2x + 5x - 3 = 0 ; |
1) |
arctg x - |
1 |
|
= 0 ; |
|
|
||||
3x3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) 3x4 + 4x3 -12 x2 - 5 = 0 ; |
2) 2x3 - 9x2 - 60 x +1 = 0 ; |
|||||||||||
3) |
0,5x +1 = ( x - 2)2 ; |
3) |
[log2 (-x)]× ( x + 2) = -1; |
|||||||||
4) |
( x − 3) cos x =1, −2π ≤ x ≤ 2π . |
4) sin( x + π ) - 0,5x = 0 . |
||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.3 |
1.3.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) 5x + 3x = 0 ; |
1) 2ex = 5x + 2 ; |
|
|
|
|
|
||||||
2) |
x4 - x -1 = 0 ; |
2) 2x4 - x2 -10 = 0 ; |
||||||||||
3) |
x2 - 2 + 0,5x = 0 ; |
3) |
x × log3 ( x +1) = 1 ; |
|||||||||
4) |
( x -1)2 × lg( x +11) = 1. |
4) |
cos( x + 0,5) = x3 . |
|||||||||
1.3.5 |
1.3.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
3x −1 - 2 - x = 0 ; |
1) |
2arctg x - |
1 |
|
|
= 0 ; |
|
|
|||
2x3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) 3x4 + 8x3 + 6x2 -10 = 0 ; |
2) |
x4 - 18x2 + 6 = 0 ; |
||||||||||
3) |
( x - 4)2 × log0,5 ( x - 3) = -1 ; |
3) |
x2 × 2x = 1; |
|
|
|
|
|
||||
4) |
5sin x = x . |
4) tg x = x +1 , − |
π |
|
≤ x ≤ |
π |
. |
|||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
1.3.7 |
1.3.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) e−2 x - 2x +1 = 0 ; |
1) 5x - 6x + 3 = 0 ; |
|
|
|
||||||||
2) x4 + 4x3 −8x2 −17 = 0 ; |
2) x4 − x3 − 2x2 + 3x −3 = 0 |
|||||||||||
3) |
0,5x -1 = ( x + 2)2 ; |
3) |
2x2 - 0,5x - 3 = 0 ; |
|||||||||
4) |
x2 cos 2x = -1. |
4) |
x × lg( x + 1) = 1 . |
|
|
|
||||||
1.3.9 |
1.3.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
arctg ( x - 1) + 2x = 0 ; |
1) |
2arctg x - x + 3 = 0 ; |
|||||||||
2) 3x4 + 4x3 − 12 x2 + 1 = 0 ; 2) 3x4 − 8x3 − 18x2 + 2 = 0 ;
3) |
( x - 2) |
2 |
× 2 |
x |
= 1; |
3) |
|
+ |
π |
= 0, 5x |
2 |
-1 |
; |
|
|
|
2 sin x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4) |
x2 − 20 sin x = 0 . |
4) |
2 lg x - |
x |
+1 = 0 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1.3.11 |
|
|
|
|
|
1.3.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
3x + 2x − 2 = 0 ; |
|
1) |
2arctg x − 3x + 2 = 0 ; |
|||||||||||||||
2) 2x4 - 8x3 + 8x2 -1 = 0 ; |
|
2) 2x4 + 8x3 + 8x2 +1 = 0 ; |
|||||||||||||||||
3) |
(x - 2)2 |
-1 |
× 2x = 1 ; |
|
3) |
log |
2 |
( x + 2) |
× ( x -1) = 1 ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
( x − 2) cos x = 1 , − 2π ≤ x ≤ 2π . |
4)sin( x − 0,5) − x + 0,8 = 0 . |
|||||||||||||||||
1.3.13 |
|
|
|
|
|
1.3.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) 3x + 2x − 5 = 0 ; |
|
1) 2ex + 3x + 1 = 0 ; |
|
|
|
||||||||||||||
2) |
x4 − 4x3 − 8x2 + 1 = 0 ; |
|
2) 3x4 + 4x3 − 12 x2 − 5 = 0 ; |
||||||||||||||||
3) |
x2 − 3 + 0,5x |
= 0 ; |
|
3) |
x log3 ( x +1) = 2 ; |
||||||||||||||
4) |
( x - 2)2 × lg(x +11) = 1. |
|
4) |
cos(x + 3) = x2 . |
|
|
|
||||||||||||
1.3.15 |
|
|
|
|
|
1.3.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
3x −1 − 4 − x = 0 ; |
|
1) |
arctg x - |
1 |
|
|
= 0 ; |
|
|
|||||||||
|
3x |
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) 2x3 − 9x2 − 60 x + 1 = 0 ; |
|
2) |
x4 − x − 1 = 0 ; |
|
|
|
|||||||||||||
3) |
(x - 3)2 × log |
0,5 |
(x - 2) = -1 |
; |
3) |
( x -1)2 × 2x = 1; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
5 sin x = x −1. |
|
|
4) |
tg 3 x = x -1 ,. |
− |
π |
|
≤ x ≤ |
π |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
1.3.17 |
|
|
|
|
|
1.3.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) ex + x +1 = 0 ; |
|
|
1) 3x - 2x + 5 = 0 ; |
|
|
|
|||||||||||||
2) 2x4 - x2 -10 = 0 ; |
|
2) 3x4 + 8x3 + 6x2 -10 = 0 ; |
|||||||||||||||||
3) 0, 5x - 3 = (x + 2)2 ; |
3) 2x2 − 0, 5x − 2 = 0 ; |
|||||
4) |
x2 cos 2 x = −1 , −2π ≤ x ≤ 2π . |
4) |
x × lg(x +1) = 1 . |
|||
1.3.19 |
1.3.20 |
|
|
|
||
1) |
arctg ( x − 1) + 3x − 2 = 0 ; |
1) |
2arctg x − x + 3 = 0 ; |
|||
2) |
x4 - 18x2 + 6 = 0 ; |
2) |
x4 + 4x3 - 8x2 -17 = 0 ; |
|||
3) |
( x - 2)2 × 2x = 1; |
3) |
|
π |
||
2 sin x + |
= x2 - 0, 5 ; |
|||||
|
|
|
|
3 |
||
4) |
x2 - 20 sin x = 0 . |
4) |
2 lg x - |
x |
+1 = 0 . |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
1.3.21 |
1.3.22 |
|
|
|
||
1) |
2x - 3x - 2 = 0 ; |
1) |
arctg x + 2x − 1 = 0 ; |
|||
2) |
x4 - x3 - 2x2 + 3x - 3 = 0 ; |
2) 3x4 + 4x3 -12 x2 +1 = 0 ; |
||||
3) |
(0,5x ) +1 = ( x - 2)2 ; |
3) |
( x + 2) × log2 ( x) = 1 ; |
|||
4) |
( x − 3) cos x = 1 , − 2π ≤ x ≤ 2π . |
4) |
sin( x + 1) = 0,5x . |
|||
1.3.23 |
1.3.24 |
|
|
|
||
1) 3x + 2x - 3 = 0 ; |
1) 2ex - 2x - 3 = 0 ; |
|||||
2) 3x4 - 8x3 -18x2 + 2 = 0 ; |
2) 3x4 + 4x3 -12 x2 - 5 = 0 ; |
|||||
3) |
x2 - 4 + 0,5x = 0 ; |
3) |
x log3 ( x +1) = 1; |
|||
4) |
( x - 2)2 × lg(x +11) = 1. |
4) |
cos( x + 0,5) = x3 . |
|||
1.3.25 |
1.3.26 |
|
|
|
||
1) |
3x + 2 + x = 0 ; |
1) arctg ( x −1) + 2x − 3 = 0 ; |
||||
2) 2x3 - 9x2 - 60x +1 = 0 ; |
2) |
x4 - x -1 = 0 ; |
||||
3) |
( x - 4)2 × log0,5 ( x - 3) = -1 ; |
3) (x -1)2 × 2x = 1 ; |
||||
4) |
5sin x = x − 0, 5 . |
4) |
tg 3 x = x +1, − |
π |
≤ x ≤ |
π |
. |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
||
1.3.27 |
1.3.28 |
|
|
|
|
||
1) e−2 x − 2x + 1 = 0 ; |
1) 3x − 2x − 5 = 0 ; |
|
|
|
|||
2) 2x4 − x2 − 10 = 0 ; |
2) 3x4 + 8x3 + 6x2 − 10 = 0 ; |
||||||
3) |
0,5x - 3 = -( x +1)2 ; |
3) 2x2 − 0,5x − 3 = 0 ; |
|
|
|
||
4) |
x2 cos 2x = −1. |
4) |
x × lg( x + 1) = 1 . |
|
|
|
|
1.3.29 |
1.3.30 |
|
|
|
|
||
1) |
arctg ( x - 1) + 2x = 0 ; |
1) |
3x + 5x − 2 = 0 ; |
|
|
|
|
2) |
x4 − 18x2 + 6 = 0 ; |
2) 3x4 + 4x3 − 12 x2 + 1 = 0 ; |
|||||
3) |
( x - 2)2 × 2x = 1; |
3) |
0,5x +1 = ( x + 2)2 ; |
||||
4) |
x2 − 10 sin x = 0 . |
4) (x + 3) cos x = 1 , −2π ≤ x ≤ 2π |
|||||
Задание 2. Найти приближенное решение системы нелинейных уравнений
sin(x − 0, 6) − y = 1, 6
3x − cos y = 0, 9
Способ 1. «Графический»
Представим систему в виде:
y = ϕ1 (x) x = ϕ2 ( y)
y = sin(x − 0, 6) −1, 6 |
|
|||
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
||
x = 0, 3 |
+ |
|
cos y |
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
Построим на листе Excel две таблицы
И рассчитаем значения функций:
С помощью диаграммы «Точечная» построим графическую интерпретацию этих зависимостей
Пересечение линий соответствует приближенному решению системы 0,2; 2. Если пересечение не найдено, необходимо изменить интервал аргумента.
Способ 2. «Поиск решения»
Запишем систему в виде
f1 (x, y) = 0 f2 (x, y) = 0
При приближении к решению целевая функция !" , # ! , $ 0
%sin x 0,6 y 1,6 0. 3x cos y 0,9 0
Создадим на листе Excel две ячейки, содержащие значения х и у, и используя их рассчитаем целевую функцию
!" , # ! , /01 0,6 1,6 # 3x cos y 0,9
За начальные значения х и у примем полученное в предыдущем способе решение 0,2; 2.