Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

vyshka_5074e

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

402.88 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ з вищої математики

для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання (2-й семестр)

1 частина

2011

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Індивідуальні завдання з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання (2-й семестр, 1частина) / Укл.: Скуйбіда Л. Г., Слюсарова Т. І. - Запоріжжя: ЗНТУ, 2011 - 70 с.

Укладачі:

Розділ «Невизначений інтеграл» - Т. І. Слюсарова, ас.

Розділ «Визначений інтеграл» - Л. Г. Скуйбіда, ст. викл.; Т. І. Слюсарова, ас.

Рецензент: І. М. Килимник, доц., к.т.н.

Відповідальний за випуск: Т. І. Слюсарова, ас.

Комп’ютерна верстка: С. І. Давиденко С. І., Т. І. Слюсарова

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики ЗНТУ Протокол № 7 від 25.05.11

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

		3
		ЗМІСТ
1. Невизначений інтеграл		4
1.1 Таблиця інтегралів		4
1.2	Правила інтегрування	5
1.3	Аудиторні завдання	7
1.4	Індивідуальні завдання	14
2. Визначений інтеграл		42
2.1	Аудиторні завдання	42
2.2	Індивідуальні завдання	45
Література		70

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1.НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

1.1Таблиця інтегралів:

u = u(x), du = u′(x)dx ;

1) ò du = u + C ;

uα+1

2)ò uα du = a +1 + C, a ¹ -1 ;

3)ò duu = ln u + C ;

4) ò au du =	a u	+ C ;
	ln a

5)ò eudu = eu + C ;

6)òsin u du = -cos u + C ;

7)ò cos u du = sin u + C ;

8)ò tgu du = -ln cos u + C ;

9)ò ctgu du = ln sin u + C ;

10)ò cosdu2 u = tg u + C ;

11)ò sindu2 u = -ctg u + C ;

12) ò

1 × arctg u

+ C ;

u2 + a2

u - a

13)

× ln

+ C ;

u2 - a2

u + a

14)

= ln

u +

u 2 ± a2

u2 ± a2

ò duu = 2u + C ;

ò	du	= -ò	du	;
	a2 - u2		u 2 - a2

+ C ;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

15) ò	du	= arcsin	u	+ C ;
			a
	a2 - u2

16)ò sh u du = ch u + C ;

17)ò ch u du = sh u + C ;

18)ò a2 - u2 du = 12 × u × a 2 - u 2 + 12 × a2 × arcsin ua + C ;

× a 2

× ln

u +

19) ò

u2 ± a2

du =

× u ×

u2 ± a2

u 2

± a 2

+ C

20)ò chdu2u = th u + C ;

21)ò shdu2u = - cth u + C ;

22)

= ln

+ C ;

sin u

= ln

æ u

p ö

+ C .

23)

tgç

cos u

4 ø

1.2 Правила інтегрування

òk ×f (x)dx = k × òf (x)dx = k × F(x)+ C, де F′ (x)= f (x), k- стала

величина

2.òf (ax + b)dx = 1a × F(ax + b)+ C

3.ò(f (x)± j(x))dx = òf (x)dx ± òj(x)dx + C

4.Інтегрування частинами: òf (x)dx =òudv = uv - ò vdu

5.Заміна змінної : òf (x)dx = òf (j(t))×j′(t)dt , де x = j(t)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Деякі підстановки

№

вид інтегралу

підстановка

вираз для

новий

з/с

інтеграл

ò f (x 2 )xdx

2xdx = dt,

× ò f (t)dt

x2 = t

xdx =

ò f (x

3x2dx = dt,

× ò f (t)dt

= t

dx =

1 ö

= t

= -dt

ò f ç

÷ ×

- òf (t)dt

è x

ò f (

)×

= 2 × dt

2 × ò f (t)dt

= t

ò f (ln x)×

ln x = t

= dt

ò f (t)dt

ò f (sin x) × cos xdx

sin x = t

cos xdx = dt

ò f (t)dt

ò f (cos x) × sin xdx

cos x = t

sin xdx = −dt

- òf (t)dt

ò f (tgx)×

tgx = t

= dt

ò f (t)dt

cos2 x

ò f (ex ) × ex dx

ex = t

ex dx = dt

ò f (t)dt

10.

ò f (arctg x)×

arctg x = t

= dt

ò f (t)dt

x2 +1

x2 + 1

11.

ò f (arcsin x)×

arcsin x = t

= dt

ò f (t)dt

1- x2

′(x)

f (x) = t

f ′(x)dx = dt

12.

ò f (x)

ò t

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Деякі види інтегралів, для яких застосовується метод інтегрування частинами

№

Вид інтегралу

Що брати за u

Що брати за dv

з/с

(x) ×

Pn (x)

dv = a

ò n

ïsin kx

ïsin kx ï

îcos kxþ

ìarccos x

ïarcsin x

ò Pn

u =

dv = Pn (x)dx

(x) × íarctg x

ýdx

íarctg x

ïarcctg x

îloga kx

mx ü

ìcos kxü

будь-який з

ïe

ò í

ý × í

ýdx

множників

mx ï

îsin kx þ

îa

ìcos(ln kx)ü

ísin(ln kx) ýdx

u = ísin(ln kx) ý

dv = dx

(x) = a

+ a

× x + a

× x2

+ a

× x3

+ ...+ a

× xn -

многочлен

степені n

1.3Аудиторні завдання

1.3.1Безпосереднє інтегрування. Внесення сталої, змінної або функції під знак диференціалу

1.	ò x ×		Відповідь:	2	× x2 ×		+ C
		xdx				x
				5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2.ò 5dxx

	2 -		1 - x 2
3. ò				dx
3. ò				dx
	1	- x2

4.ò 2 - x 2 dx

1+ x 2

5.ò e3x × dx

6.ò tg2x dx

7.ò (shx - sin x)dx

1 ö2

8.ò dx

9.ò (2tg x + 3ctg x)2 dx

10.ò x ×cos(x2) dx

11.ò x ×dxln x

12.ò sin x × cosx dx

13.ò (e2x + e−2x )dx

14.ò cos(2x + 7)dx÷÷x øç x -çè

15. ò 7x - 3 dx

4 + x2

Відповідь: 54 ×5x4 + C

Відповідь: 2×arcsin x - x + C

Відповідь: 3× arctg x - x + C

Відповідь: 13 ×e3x + C

Відповідь: tg x - x + C

Відповідь: ch x + cos x + C

Відповідь: x2 - 2 × x + ln x + C 2

Відповідь: 4 × tgx - 9 × ctgx - x + C

Відповідь: sin(x2 )+ C 2

Відповідь: ln ln x + C

Відповідь: 23 × sin x × sin x + C

e2x e−2x

Відповідь: 2 - 2 + C

Відповідь: sin(2x + 7) + C 2

Відповідь:

74 + x2 - 3 × ln x + 4 + x2 + C

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1.3.2 Метод підстановки (метод заміни змінної)

Відповідь: 2(

+ 3

)+ C

x + 2

- 3× ln

x + 2

x + 2 + 3

ò ecos2 x ×sin 2x dx

Відповідь: - ecos2 x + C

Відповідь: 2(

)+ C

x +1 - ln

x +1 +1

1+ x

Відповідь:

6 ×ç6 x

- 3arctg

+ C

(9 +

x )×

(x + 2)

+ 4x

Відповідь: -

+ C

2 ×3 x2 + 4x +1

+1)

(2 - 3x)3

æ 8

ò x ×

2 - 3x dx

Відповідь: -

×ç

x÷ + C

Відповідь: ln

ex -1

= ln

ex -1

- x + C

ò ex −1

e2x

× (3e

-1)×

+1)

ò 4 ex +1

Відповідь:

+ C

Відповідь:

+ C

(x +1)4

3(x +1)3

2(x +1)2

1.3.3 Метод інтегрування частинами

1.ò (x + 5)× 3x dx

2.ò x×e2x dx

x + 5

Відповідь: 3

+ C

×ç

ln 3

ln2

3 ø

Відповідь: e

æ x

+ C

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.òarctgx dx

4.ò x × cos 2x dx

5.ò sin(ln x)dx

			x
6.	ò				dx
		sin 2 x
7.	ò			× ln x dx
			x
8.	ò arcsin x dx
9.	ò x2 × e−xdx
10.	òex ×sin x dx

Відповідь: x × arctgx - ln(1 + x2 )+ C 2

Відповідь: x ×sin 2x + cos 2x + C 2 4

Відповідь:

x2 × (sin(ln x)- cos(ln x))+ C

Відповідь: ln sin x - x ×ctgx + C

	2		æ			2	ö
		x3

Відповідь:			× çln	x	-		÷	+ C
	3					3
			è				ø


Відповідь: x ×arcsin x +					1- x2 + C
Відповідь: -		x 2	+ 2x + 2	+ C
Відповідь: -			ex	+ C
			ex
Відповідь:	ex ×(sin x - cos x)					+ C
Відповідь:			2			+ C
			2

1.3.4 Інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен у знаменнику

Відповідь:

× ln

2x - 3 -

+ C

ò 2x 2 - 6x + 3

2 3

2x - 3 + 3

Відповідь: arctg(2x - 3)+ C

ò 2x2 - 6x + 5

3 ö

Відповідь:

× ln

x -

ç x -

+ C

2 - 6x + 5

2 ø

Відповідь: arcsin

+ C

- x2 + x

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.2019370.69 Кб3Voprosy_k_ekzamenu_po_kursu.doc
#
14.08.2019691.2 Кб2VOSP.doc
#
16.11.2019431.1 Кб0VSiTI.doc
#
28.09.20196.42 Mб46Vstup.docx
#
19.11.2018189.95 Кб3Vstyp.doc
#
07.02.2016402.88 Кб3vyshka_5074e.pdf
#
07.02.2016748.38 Кб7Wi-Fi.pdf
#
07.02.20164.9 Mб8word.docx
#
07.02.2016748.03 Кб11WORD_2010.doc
#
24.11.2019638.46 Кб3WORD_2010.doc
#
25.08.20191.61 Mб1WWW.FITFORLIFE.RU.Стюарт МакРоберт-Думай.doc