AmoZao2009

Контрольна робота

Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Мета роботи: вивчення основних методів чисельного розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, а також засобів обчислень визначників та власних чисел.

3.1 Загальні відомості

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) може бути представлена у матричному вигляді АХ=В, де А - матриця коефіцієнтів, Х - вектор невідомих, В - вектор вільних членів.

Розв’язок СЛАР можна одержати за допомогою точних методів, таких як метод Гауса, LU-перетворення, формул Крамера, зворотної матриці або ітераційними методами, такими як методи простої ітерації або Гауса-Зейделя.

Метод Гауса базується на принципі послідовного виключення невідомих. При цьому матриця А спочатку приводиться до трикутного вигляду, а потім одержана трикутна система розв’язується.

При аналізі електронних схем найчастіше застосовується метод LU-перетворення, який базується на розкладанні матриці А на дві трикутні (L – нижньотрикутну і U – верхньотрикутну) матриці і подальшому розв’язкові систем LZ=B і UX=Z.

Формули Крамера практично не застосовуються через великий об’єм обчислень. Розв’язок СЛАР за допомогою зворотної матриці також програє першим двом

методам за об’ємом обчислень, але інколи застосовується у теоретичних статтях через наочність запису розв’язку.

У методі простих ітерацій (ітераційний метод Гауса) СЛАР АХ=В спочатку приводиться до явного вигляду X=[α]X+ β , а потім обчислюються значення невідомих за

наступною ітераційною формулою:

X(k) = β + [α] X(k-1) ,

де [α], β - перетворені матриця А і вектор В, k = 1,2,…,n – номер ітерації, X ( 0 ) = β - початкове наближення.

Метод Гауса-Зейделя є деяка модифікація методу простих ітерацій, коли при обчисленні k- го наближення Xi(k) враховуються раніше знайдені наближення X1(k) , X2(k) , Xi-1(k)

Власні числа матриці знаходяться як корені характеристичного багаточлена

Лабораторні та контрольна роботи з дисципліни "Алгоритми та методи обчислень" Дьячук Т.С.

де λ - власні числа, Е - одинична матриця.

3.2 Порядок виконання роботи

Варіант визначається за номером залікової книжки (дві останні цифри, або (дві останні цифри-50)). Варіанти приведено у додатку А.

За допомогою Mathcad (для того щоб нумерація в матрицях починалась з 1 потрібно спочатку написати функцію ORIGIN:=1):

1.Отримати зворотну матрицю А-1.

2.Одержати розв’язок Х= А-1 В.

3.Обчислити значення визначника |А|.

4.Розкласти матрицю А на нижньо-(L) і верхньо-(U) трикутні матриці.

Щоб знайти LU-розклад матриці А, треба використовувати функцію 1и(А). Функція

1и(А) повертає матрицю, що містить три квадратні матриці Р, L і U, пов’язані співвідношеням PA = LU, де L - нижня трикутна матриця, U - верхня трикутна матриця, Р - матриця перестановки рядків і стовпчиків матриці А. Таким чином, матриці L та U є розкладом матриці В = РА. Для виділення матриць Р, L і U можна використовувати функцію submatrix. Функція submatrix залежить від 5 аргументів: 1 – ім’я матриці; 2,3 - діапазон рядків; 4,5 - діапазон стовпчиків.

Приклад. Нехай А - квадратна матриця розміру 3. Тоді матриця С=1и(А) має 3 рядки і 9 стовпчиків. Перші три стовпчики формують матрицю Р, інші три стовпчикі формують матрицю L, останні три стовпчики формують матрицю U. Для вилучення матриць P,L і U використовуємо функцію submatrix:

P:=submatrix(C,1,3,1,3)

L:=submatrix(C,1,3,4,6)

U:=submatrix(C,1,3,7,9)

5. Розв’язати системи рівнянь LZ=В, UХ=Z. Знайти визначник як

n

det A = ∏Uii

i=1

порівняти з результатами п.3.

6.Розв’язати СЛАР за допомогою функції Find.

7.Розв’язати СЛАР за допомогою формул Крамера.

8.Знайти власні числа.

Для обчислення власних чисел матриці А можна використовувати функцію eigenvals. Функція eigenvals(A) повертає вектор, що містить власні значення матриці А. Для одержання

власних векторів можна використовувати функції eigenvec і eigenvecs. Функція eigenvecs (A, λ) повертає нормований власний вектор матриці A, що відповідає власному числу λ.

Функція eigenvecs(A) повертає нормовані власні вектори матриці А, що відповідають власним числам, поверненим eigenvals.

Приклад. Нехай

3 4 A

2 1

Функція eigenvals(A) повертає вектор власних значень матриці А: (5, -1). Функція

Лабораторні та контрольна роботи з дисципліни "Алгоритми та методи обчислень" Дьячук Т.С.

eigenvecs(A) повертає відповідні їм власні вектори.

При цьому власному числу λ1=5 відповідає власний вектор (0.894, 0.447), власному числу λ2=-1 відповідає власний вектор (-0.707, 0.707).

0.447 0.707

9.Визначити виконання умов збігу ітераційного процесу, при необхідності перетворити матрицю А і розв’язати систему рівнянь методом простої ітерації:

Похибку прийняти рівною 0,001.

10. Розв’язати цю ж систему рівнянь методом Гауса-Зейделя:

Похибку прийняти рівною 0,001.

11.Порівняти результати розв’язку СЛАР одержані всіма методами.

12.Зробити висновки.

3.3 Зміст звіту

Письмовий звіт повинен містити:

1)Тему, формулювання мети й задач досліджень.

2)Завдання лабораторної роботи, виконане в MathCad.

3)Відповіді на контрольні запитання.

4)Висновки за результатами досліджень.

Письмовий звіт повинен бути оформлений на комп‘ютері, мати титульну сторінку із зазначенням назви дисципліни, теми лабораторної роботи, автора звіту та викладача, дати складання письмового звіту. Далі на кожній сторінці звіту в колонтитулах має міститись прізвище, ім‘я та номер групи студента (верхній колонтитул), тема лабораторної роботи та номер сторінки (нижній колонтитул).

3.4Контрольні запитання

1.Переваги і недоліки прямих і ітераційних методів.

2.Переваги LU-перетворення.

3.Відмінність ітераційного методу Гауса від Гауса-Зейделя.

4.Засоби обчислень визначника матриці.

5.Засоби обчислень власних чисел і власних векторів.

6.Умови збігу ітераційних методів.

7.Впорядкування матриць: мета та засоби.

Лабораторні та контрольна роботи з дисципліни "Алгоритми та методи обчислень" Дьячук Т.С.

3.Васильков Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 256с.

4.Численные методы. Конспект лекций для студентов специальностей 8.091 501 «Компьютерные системы и сети» и 7.091 503 «Специализированные компьютерные системы» всех форм обучения. / Сост. А.К. Тимовский, Л.М. Карпуков, С.Н. Романенко – Запорожье: ЗНТУ, 2004. – 130 с.

5.Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни “Чисельні методи” для студентів спеціальностей 8.091 501 “Комп’ютерні системи та мережі” та 7.091503 “Спеціалізовані комп’ютерні системи” усіх форм навчання / Укл. А.К. Тимовський, Г.Л. Козіна, Н.В. Луценко. – Запоріжжя: ЗДТУ, 2001.- 48c.

6.Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум. – М.: Финансы и статистика, 1999.-655с.

7.Таха, Хэмди, А. Введение в исследование операций, 6-е издание.: Пер.с англ. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 912с.

8.Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. Пособие. – М.: Наука, 1987.-320с.

9.Петров И.Б., Лобанов А.И. Введение в вычислительную математику – http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/10/

10.В. Нарретер. Расчет электрических цепей на персональной ЭВМ: Пер. с нем. – М.: Энергоатом издат, 1991-220с.

11.Т.Кормен, Ч.Лейзерсон, Р.Ривест. Алгоритмы: построение и анализ.- М.: МЦНМО, 2001.- 960 с.

Лабораторні та контрольна роботи з дисципліни "Алгоритми та методи обчислень" Дьячук Т.С.