M04190мас_лааг
.pdf
81
Відповідь: A−1 =
Приклад 5. Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гаусса
Розв 'язання. Поміняємо місцями перший і другий рядки:
Перший рядок помножимо на (-2) і додамо до другого; перший рядок помножимо на (-7) і додамо до третього:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
82
Помножимо третій рядок на 15
Поміняємо місцями другий і третій рядки:
Помножимо другий рядок на 3 і додамо до третього:
Відповідь: х1= 1; х2 = 0; х3 =-3.
Приклад 6.
Точки А( 0; 0), В(0; 1; 0), С(-1; 0; 2), D(-1; -1; 2) є вершинами піраміди. Знайти площу її основи ABC і об'єм піраміди.
Розв'язання. Знайдемо координати трьох векторів, що виходять із точки А: АВ(-1; 1; 0), АС(-2; 0; 2), AD = (-2; -1; 2).
Тоді
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
83
Об'єм піраміди обчислюємо за формулою:
Приклад 7.
Знайти рівняння висоти АН трикутника ABC, якщо
A(1;2), B(-1;0), С(-1;-3).
Розв'язання. Знайдемо координати вектора ВС: ВС(0; - 3). Цей вектор можна взяти за вектор нормалі прямої АН.
Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку (х0; у0) перпендикулярно до вектора п(А; В):
А(х-х0) + В(у-у0) = 0.
Тоді рівняння прямої АН має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0(x - 1)-3(y - 2) = 0, |
або y - 2 = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||
Приклад 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти точку перетину медіан АМ1 і ВМ2 трикутника ABС, |
|||||||||||||||||
якщо А(1; 2), В(-1; 0), С(-1;-3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Розв 'язання. Знайдемо координати точок М1 і М2: |
|
|
|
|
|||||||||||||
X |
M1 |
|
= |
XB + XC |
|
= −1; Y = |
YB + YC |
= − |
3 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
M1 |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
X |
M |
|
= |
X A + XC |
= 0; Y = |
YA + YC |
= − |
1 |
. |
||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
M 2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Toді, скориставшись рівнянням прямої, що проходить через дві точки, запишемо рівняння медіан:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
84
Спростивши ці рівняння, остаточно маємо:
АМ1: 7х - 4у + і = 0, ВМ2: х + 2у + і = 0.
Для відшукання точки перетину медіан АМХ і ВМ2 розв'яжемо систему:
Розв'язком цієї системи є пара чисел: х = - |
|
1 |
|
; у=.- |
1 |
|||||
3 |
3 |
|||||||||
æ |
|
1 |
|
1 ö |
||||||
- |
: |
- |
|
|||||||
Отже, точкою перетину медіан є точка ç |
|
|
|
÷ |
|
|||||
3 |
|
|
||||||||
è |
|
|
|
|
3 ø |
|
||||
Приклад 9.
Знайти відстань від точки Р(1; 1; 1) до прямої
Розв'язання. Через точку Р проведемо площину, що перпендикулярна заданій прямій. Рівняння цієї площини має вигляд:
2(х-l) + l(y-l) + 3(z-1) = 0, або 2x + y + 3z - 6 = 0.
Знайдемо точку Q перетину заданої прямої і побудованої площини. Для цього запишемо параметричні рівняння прямої і розв'яжемо систему рівнянь.
Розв'язком системи є
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
85
Отже, точка |
є точкою перетину заданої |
прямої і побудованої площини.
Тоді відстань від точки Р до прямої дорівнює довжині відрізка
PQ.
Тобто
Приклад 10.
Обчислити об'єм піраміди, що відтинає від першого октанта площина Зх + 4у + 5z - 16 = 0.
Розв 'язання. Запишемо рівняння заданої площини «у відрізках»:
Звідси знайдемо відрізки, що відтинає площина на координатних
осях:
Тоді
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
86
Приклад 11 |
|
|
Дане рівняння кривої 9x2 − 25y2 − 36x − 50y − 214 = 0 |
, |
|
привести до канонічного виду та побудувати її. |
||
|
Розв’язок: Методом доповнення до повного квадрата дане рівняння зведемо до канонічного виду:
9x2 − 25y2 − 36x − 50 y − 214 = 0 9(x2 − 4x) − 25( y 2 + 2y) = 214
9[(x − 2)2 − 4] − 25[( y + 1)2 − 1] = 214 9(x − 2)2 − 25( y + 1)2 = 225
(x − 2)2 − ( y + 1)2 = 1 25 9
Виконаємо паралельний перенос координат Х = х-2; У = у+1 рівняння має вигляд:
X 2 − Y 2 =1
25 9
Це рівняння гіперболи, центр якої знаходиться в т. 0’(2;-1). Рівняння асимптот в „новій” системі координат:
Y = ± b X , де b = 3; a = 5; Y = ± 3 X .
a |
5 |
Зробимо рисунок:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
87
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
88
4.ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ ТЕОРЕТИЧНИХ
ЗНАНЬ
1.Визначник — це ...
2.Визначник другого порядку дорівнює ...
3.Якщо переставити місцями два рядки визначника, то ...
4.Якщо визначник має два однакові рядки, то ...
5.Алгебраїчним доповненням Аij елемента аij називають ...
6.Матрицею називається....
7.Як знайти добуток двох матриць?
8.Яка матриця не має визначника?
9.Матриця А-1 називається оберненою до матриці А, якщо...
10.Чи комутативна операція множення матриць?
11.Яка система лінійних рівнянь називается сумicною, визначною, несумiсною ?
12.Як розкласти визначник за елементами його рядка (стовпця).
13.Для того щоб система лінійних рівнянь (СЛР) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ...
14.Якщо r(А) = r(В) = п, тоді система має ...
15.За якою умовою однородна СЛР мае ненульовий розв’зок?
16.Зробіть матричний запис розв'язку СЛР...
17.Який мінор матриці А називається базисним?
18.Що таке вектор?
19.Чому дорівнює довжина вектора?
20.Які вектори називаються колінеарними?
21.Сформулюйте правило трикутника і паралелограма для додавання векторів.
22.Який вектор називається одиничним?
23.Чому дорівнює косинус кута між двома векторами?
24.Скалярним добутком векторів а і b називається ...
25.Чому дорівнює а b , якщо а b ?
26.Чому дорівнює скалярний добуток векторів а і b в координатній формі?
27.Векторним добутком векторів а і b називається ...
28.Як знайти площу паралелограма, утворенного на векторах а і
b ?
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
89
29.Чому дорівнює ( а × b ) • c ?
30.У чому полягає геометричний зміст мішаного добутку?
31.Коли вектори а , b , c колiнеарнi ?
32.Коли вектори а , b , c компланарні?
33.Векторний добуток векторів а і b , якщо вектори задані своїми координатами, обчислюється...
34.Запишіть рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
35.Запишіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
36.Запишіть рівняння прямої у відрізках на осях.
37.Запишіть параметричні рівняння прямої.
38.Відстань від точки до прямої дорівнює...
39.Загальне рівняння площини має вигляд: ...
40.Рівняння площини, що проходить через три задані точки, має вигляд: ...
41.Запишіть рівняння площини у відрізках на осях.
42.Відстань від точки Мо(хо; уо; zо) до площини можна знайти за формулою ...
43.Запишіть умову паралельності площин.
44.Запишіть загальні рівняння прямої.
45.Запишіть канонічні рівняння прямої.
46.Запишіть умову паралельності прямих.
47.Чому дорівнює косинус кута між прямими?
48.Запiшить канонiчнi рiвняння кривих другого порядку.
49.Запiшить канонiчнi рiвняння цилiндричних поверхонь другого порядку, твiрнi яких паралельнi осi OY (OX, OZ).
50.Дайте означення та приведiть приклади поверхонь обертання навколо осi OZ.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
90
5. ЛІТЕРАТУРА
1.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М: Наука, 1987. — 320 с.
2.Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1983. — 228с.
3.Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. — М.: Наука, 1985. — 392 с.
4.Буйвол В. М. Елементи лінійної і векторної алгебри та аналітичної геометрії. — К.: КМУЦА, 1996. — 220 с
5.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Наука, 1980. — Т.1. — 135 с.
6.Ильин В. А., Лозняк Е. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1981. —183 с.
7.Коваль О. О., Топольницька К. Ф. Елементи лінійної алгебри, векторного числення та аналітичної геометрії: Навч. посібник. —
К.: КМУЦА,1996. —150 с.
8.Лубенська Т. В., Чупаха Л. Д. Елементи лінійної, векторної алгебри та аналітичної геометрії. — К.: КВТІУ, 1997. — 261 с
9.Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике.
— Харьков, 1973.
10.Денисюк В.П., Ренета В.К. Высша математика. Модульна технологія навчання: Навчальний посібник: -К, Книжкове видавництво НАУ,2005, 276с
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com