электротехника 3476

21

= Um sin(ωt + ϕ +ψ ),

Um = R2 + (ωL)2 Im = ZIm ; Z = R2 + (ωL)2 ; ψ = arctg ωRL ,

Причому межі зміни ψ : 0 <ψ < π2 .

Рівнянню можна поставити у відповідність співвідношення:

U& = U R + U& L = RI& + jX L I& = (R + jX L )I& = ZI&

якому, у свою чергу, відповідає векторна діаграма на рис.3.2 Вектори на рис.3.2 утворять фігуру, названу трикутником напруг. Аналогічний вираз

Z = R + jX L = R2 + X L2 e jψ = Ze jψ ,

графічно може бути представлено трикутником опорів (див. рис.3.3), що подібний трикутнику напруг.

Послідовне з'єднання резистивного і ємнісного елементів

Рисунок 3.4 - Послідовне з'єднання R, С елементів

Опускаючи проміжні викладання, для вітки на рис.3.4 можна записати:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Z = R − jX C = R2 + X C2 e jψ = Ze jψ ;

ψ= arctg XRC = −arctg ωCR1 , причому межі зміни

ψ= − π2 <ψ < 0 .

На підставі рівняння можуть бути побудовані трикутники напруг (див. рис.3.5) і опорів (див. рис.3.6), що є подібними.

Паралельне з'єднання резистивного і ємнісного елементів

Рисунок 3.7 – R, C з’єднання

Для кола на рис. 3.7 мають місце співвідношення:

U = U R = UC ;

I R = URR = gU, де g = R1 [См] – активна провідність;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

23

конденсатора.

Векторна діаграма струмів для даного кола, названа трикутником струмів, приведена на рис.3.8. Їй відповідає рівняння в комплексній формі:

I& = I&R + I&C = gU& + jbCU& = (g + jbC )U& = YU& = Ie− jψ

де I = I R2 + IC2

Y = g + jbC = R1 + jωC = Ye− jψ -комплексна провідність;

ψ = −arctg bgC = −arctgωCR

Трикутник провідностей, подібний до трикутника струмів, приведений на рис.3.9.

Для комплексного опору кола на рис. 3.7 можна записати:

Необхідно відзначити, що отриманий результат аналогічний відомому з курсу фізики вираженню для еквівалентного опору двох паралельно з'єднаних резисторів.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

24

Паралельне з'єднання резистивного й індуктивного елементів

Рисунок 3.10 - R, L з'єднання

Для кола на рис. 3.10 можна записати:

U = U R = U L ;

провідність котушки індуктивності.

Векторній діаграмі струмів (рис.3.11) для даного кола відповідають рівняння в комплексній формі:

Трикутник провідностей, подібний до трикутника струмів, приведений на рис.3.12.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

25

4 ОСНОВИ СИМВОЛІЧНОГО МЕТОДУ РОЗРАХУНКУ КІЛ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

Закон Ома для ділянки кола з джерелом ЕРС

Рисунки 4.1 – Ділянки кола з ЕРС

Візьмемо дві ділянки кола а-b і c-d (див. рис.4.1) і складемо для них рівняння в комплексній формі з обліком зазначених на рис.4.1 позитивних напрямків напруг і струмів:

U ab = φ&a − φ&b = E&1 − I&1 Z 1; φ&а = φ&b + E&1 − I&1 Z 1;

I&1 = E&1 − U& ab ; Z 1

φ&C = φ&d + E&2 + I&2 Z 2 ;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

26

U&cd = φ&c −φ&d = E&2 + I&2 Z 2 ;

I&2 = − E&2Z+2 U&cd .

Поєднуючи обидва випадки, одержимо:

I& = ± E& m U& ,

Z

чи для постійного струму

I = ± E ±U .

R

Формули є аналітичним виразом закону Ома для ділянки кола з джерелом ЕРС, відповідно до якого струм на ділянці кола з джерелом ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі напруги на затисках ділянки кола й ЕРС, діленої на опір ділянки. У випадку змінного струму всі зазначені величини суть комплекси. При цьому ЕРС і напругу беруть зі знаком "+", якщо їхній напрямок збігається з обраним напрямком струму, і зі знаком "-", якщо їхній напрямок протилежно напрямку струму.

Розрахунок кіл змінного синусоїдного струму може вироблятися не тільки шляхом побудови векторних діаграм, але й аналітично - шляхом операцій з комплексами, що символічно зображують синусоїдні ЕРС, напруги і струми. Достоїнством векторних діаграм є їхня наочність, недоліком - мала точність графічних побудов. Застосування символічного методу дозволяє робити розрахунки кіл з великим ступенем точності.

Символічний метод розрахунку кіл синусоїдного струму заснований на законах Кірхгофа і законі Ома в комплексній формі.

Рівняння, що виражають закони Кірхгофа у комплексній формі, мають такий же вид, як і відповідні рівняння для кіл постійного струму. Тільки струми, ЕРС, напруги й опори входять у рівняння у виді комплексних величин.

1 Перший закон Кірхгофа у комплексній формі:

.

åI = 0.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

27

Другий закон Кірхгофа у комплексній формі:

5 ПЕРЕТВОРЕННЯ ЕНЕРГІЇ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ

Миттєва, активна, реактивна і повна потужності синусоїдного струму

Передача енергії W по електричному колу (наприклад по лінії електропередачі), перетворення енергії, тобто перехід електромагнітної енергії в теплову, а також в інші види енергії характеризуються інтенсивністю, з якою протікають процеси, тобто тим, скільки енергії передається по лінії в одиницю часу і скільки енергії перетворюється в одиницю часу. Інтенсивність передачі чи перетворення енергії називається потужністю р. Сказаному відповідає математичне визначення:

p = dwdt

Вираз для миттєвого значення потужності в електричних колах має вигляд: p = ui .

Прийнявши початкову фазу напруги за нуль, а зсув фаз між напругою і струмом за −ϕ , одержимо:

p= ui = Um sin ωt *I msin(ωt −ϕ) =U mI msin(ωt − ϕ) =

=U m2I m [cosϕ − cos(2ωt −ϕ)]= UI cosϕ −UI cos(2ωt − ϕ)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

28

Рисунок 5.1 -Графікиu, i, p

Отже, миттєва потужність має постійну складову і гармонійну складову, кутова частота якої в 2 рази більше кутової частоти напруги і струму.

Коли миттєва потужність негативна, а це має місце (див. рис.5.1), коли u та i різних знаків, тобто коли напрямки напруги і струму в двополюснику протилежні, енергія повертається з двополюсника джерелу.

Таке повернення енергії джерелу відбувається за рахунок того, що енергія періодично запасається в магнітних і електричних полях відповідно індуктивних і ємнісних елементів, що входять до складу двополюсника. Енергія, що віддається джерелом двополюснику протягом часу і дорівнює

ò0t pdt //

Середнє за період значення миттєвої потужності називається активною потужністю

P = T1 ò0T pdt (Вт)

Приймаючи в увагу, що

ò0T cos(2ωt − ϕ)dt = 0,

одержимо

P = UI cosϕ .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

29

Активна потужність, споживана пасивним двополюсником, не може бути негативної (інакше двополюсник буде генерувати енергію),

активну потужність

P = UI cosϕ = cos0 = 1 = UI = RI 2 = U 2

R

Резистор (ідеальний активний опір)

Рисунок 5..2 - Графіки u,i, p

Котушка індуктивності (ідеальна індуктивність)

Рисунок 5..3 – Графіки u,i, p

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

30

При ідеальній індуктивності струм відстає від напруги по фазі на

π2 . Тому можна записати:

p =U LI Lcosπ2 −U LI Lcos(2ωt − π2 ) = −U LIL sin 2ωt

Ділянка 1-2: енергія Li22 , що запасається в магнітному полі котушки, наростає.

Ділянка 2-3: енергія магнітного поля убуває, повертаючись в джерело.

Конденсатор (ідеальна ємність)

Аналогічний характер мають процеси і для ідеальної ємності.

котушці індуктивності і конденсаторі активна потужність не споживається (Р=0), тому що в них не відбувається необоротного перетворення енергії в інші види енергії. Тут відбувається тільки циркуляція енергії: електрична енергія запасається в магнітному полі котушки чи електричному полі конденсатора протягом чверті періоду, а протягом наступної чверті періоду енергія знову повертається в мережу. У силу цього котушку індуктивності і конденсатор називають реактивними елементами, а опори

X L i XC , на відміну від активного опору R резистора - реактивними.

Інтенсивність обміну енергії прийнято характеризувати найбільшим значенням швидкості надходження енергії в магнітне поле котушки чи електричне поле конденсатора, що називається реактивною потужністю.

У загальному випадку вираз для реактивної потужності має вигляд:

Q = UI sinϕ

Вона позитивна при відстаючому струмі (індуктивне навантаження ϕ > 0 ) і негативне при випереджальному струмі

(ємнісне навантаження ϕ < 0 ). Одиницю потужності в застосуванні

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com