электротехника 1196

а перетворення джерела струму J в еквівалентне джерело ЕРС Е – за схемою, приведеної на рисунку 1.12.

13

еквівалентний опір кола Rэкв = Rad + Rde* + R12 (рисунок 1.13,з). Тоді струм, що

споживає коло I, буде дорівнювати: I = U .

Rэкв.цепи

Заміна паралельних віток із джерелами ЕРС і джерелами струму однією еквівалентною

Якщо до яких-небудь двох вузлів, наприклад a і b, складного електричного кола приєднані m паралельних віток із джерелами ЕРС E і n віток із джерелами струму I, то ці вітки можна замінити однією еквівалентною віткою з джерелом ЕРС Eэ й опором Rэ (рисунок 1.14).

Величина еквівалентної ЕРС Eэ дорівнює:

У виразі (1.14) зі знаком “+” беруться струми, спрямовані до того ж вузлу, що й еквівалентна ЕРС Eэ, а зі знаком “–” – спрямовані до іншого вузлу.

Заміна декількох паралельних віток однією еквівалентною, як правило, спрощує розрахунок складних схем.

Приклад 1.1.Визначити струм у вітці з амперметром у схемі, представленої на рисунку 1.15, якщо: E1=36В; E2=96В; E3=28В; E4=100В; E5=60В; J=6А;R1=12 Ом; R2=48 Ом; R3=44 Ом; R4=10 Ом; R5=15 Ом; R6=30 Ом.

16

Після спрощення коло має вид, показаний на рисунку 1.17. Для зазначеного кола виберемо напрямки струмів у всіх вітках, позначимо вузли і виберемо напрямки обходу контурів (за годинниковою стрілкою).

2.Складемо систему з 6 рівнянь (шість невідомих струмів), при цьому три рівняння складемо за першим законом Кірхгофа (тому що q=4, а q – 1=3), наприклад для вузлів a, b і c, а інші три – за другим законом Кірхгофа для контурів I, II і III:

I1 – I4 – I6 = 0

I4 + I2 – I5= 0

E1 – E2=I1 R1+I4 R4 – I2 R2

E2 + E3=I2 R2+I5 R5 + I3 R3

Е6*= I6 R6* – I4 R4 – I5 R5

Зробивши відповідні підстановки, одержимо:

I1 – I4 – I6 = 0

I4 + I2 – I5= 0

I5 + I6 – I3 = 0 (1.16) –20 = 100 I1+75 I4 – 60 I2

110 = 60 I2+ 75 I5 + 50 I3

30 = 80 I6 – 75 I4 – 75 I5

17

Розрахувавши отриману систему, наприклад за допомогою програми Mathcad, одержимо наступні значення струмів:

I1 = 0,318, A

I2=0,595,A

I3=0,913,A

I4=–0,214,A

I5 = 0,381, A

I6 = 0,532, A

3.Знайдемо напругу Unm (показання вольтметра). Для цього складемо рівняння за другим законом Кірхгофа для контуру abnm:

E1 = I4 R4 – I2 R2 + Unm , звідки Unm = E1 – I4 R4 + I2 R2 = 40 + 0,214*75 + 0,595*60 = 91,75 B.

1.4Метод контурних струмів

Воснову цього методу покладене поняття контурного струму. Контурний струм – це умовний (уявлений чи розрахунковий) єдиний для всіх віток контуру струм, що як би циркулює у даному контурі. Насправді, у кожній вітці контуру протікає свій струм, відмінний від струмів інших віток, що утворюють даний контур. Метод заснований на застосуванні тільки другого закону Кірхгофа і дозволяє скоротити при розрахунку багатоконтурних схем число розв'язуваних рівнянь. Для складання рівнянь за методом контурних струмів крім поняття контурний струм вводять такі поняття як контурна ЕРС, власний опір контуру і взаємний опір контурів (його також часто називають загальним чи суміжним).

Контурні струми, число яких дорівнює числу незалежних контурів, приймаються за шукані невідомі і рівняння складаються саме для них. Як правило, контурні струми позначають двома індексами (контурний струм першого контуру – I11, другого – I22, третього – I33 і т.д.).

Контурні ЕРС (які також позначають двома індексами Е11, Е22, Е33,…),являють собою алгебраїчні суми всіх ЕРС, що діють у відповідному контурі.

Власним опором контуру називається сума опорів усіх віток, що утворять даний контур. Власні опори також позначають подвійними індексами (R11, R22, R33, …)...

Взаємний опір – це опір вітки, що належить двом суміжним контурам. Взаємні опори позначають подвійними індексами за номерами суміжних контурів (R12, R23, R13, …).

18

Враховуючи це, система рівнянь для будь-якої схеми, що містить n контурів має вид:

Шукані контурні струми можуть бути знайдені, наприклад, за допомогою визначників:

I11= ∆∆1 ; I 22 = ∆∆2 ; Iкк = ∆∆k ; I nn= ∆∆n ,

де ∆ – визначник системи, елементами якого є власні і взаємні опори зі своїми знаками

(Умова 1. Якщо всі контурні струми спрямовані в одну сторону, то власні опори контурів мають знак ”+”, а усі взаємні опори – знак ”–”).

а ∆к – той же визначник, k -й стовпець якого замінений стовпцем контурних ЕРС.

В зовнішніх галузях, тобто в галузях, що не є суміжними між сусідніми контурами, знайдений контурний струм є дійсним струмом у вітці (з урахуванням знака), а у внутрішніх (суміжних) вітках дійсний струм визначається алгебраїчною сумою контурних струмів двох суміжних контурів (різниці контурних струмів, якщо виконана умова 1).

Рекомендації до методу контурних струмів.

1.Для складання контурних рівнянь доцільніше вибирати контури по комірках.

20

4.Складемо за другим законом Кірхгофа рівняння для обраних контурів. Ці рівняння мають вид:

E11= I11 R11 – I22 R12 – I33 R13

Зробивши відповідні підстановки, одержимо:

Розрахувавши отриману систему (за допомогою програми Mathcad) одержимо наступні значення контурних струмів:

I11 = 0,318 А

I22 = 0,913 А

I33 = 0,532 А

5.Визначаємо струми у вітках:

I1 = I11 = 0,318 А

I2 = I22 – I11 = 0,913 – 0,318 = 0,595 А I3 = I22 =0,913 А

I4 = I11 – I33 = 0,318 – 0,532 = –0,214 А

I5 = I22 – I33 = 0,913 – 0,532 = 0,381 А I6 = I33 = 0,532 А

Значення струмів у вітках цілком збіглися з раніше знайденими значеннями (див. приклад 1.2).