Задачі для самостійного розв’язку
В.С.Волькенштейн. Сборник задач по общему курсу физики.
12.50; 14.12; 14.14; 12.54.
І.П.Гаркуша та ін. Загальний курс фізики. Збірник задач. К. ”Техніка”. 2003.
4.28; 4,83; 4.84; 4.85; 4.103; 4.106; 4.219; 4.229; 4.232;
11 Хвилі
11.1 Механізм утворення хвиль у пружному середовищі. Класифікація хвиль. Рівняння хвиль
При коливанні тіла в пружному середовищі частинки середовища, які безпосередньо дотикаються до поверхні тіла, приходять у вимушені коливання. За рахунок сил зв’язку в коливальний рух утягуються більш віддалені шари середовища. Виникають деформації і сили пружності, які приводять до коливань все більш віддалені шари середовища. Таким чином частинки середовища послідовно здійснюють вимушені коливання навколо свого положення рівноваги. В середовищі ж з певною швидкістю поширюється стан деформації, а перенесення речовини середовища немає. Такий процес поширення коливань в середовищі називається хвильовим процесом, або просто хвилею.
В залежності від напрямку коливань частинок середовища і напрямку поширення хвиль вони поділяються на повздовжні і поперечні. У повздовжніх хвилях частинки середовища коливаються в напрямку поширення хвиль, а в поперечних – перпендикулярно до нього.
При повздовжніх хвилях виникають деформації розтягування (стиснення), які мають місце як у твердих тілах, так і в рідинах та газах. Отже повздовжні пружні хвилі можуть поширюватись у трьох агрегатних станах речовини. В поперечних хвилях виникають деформації зсуву. Тому такі хвилі можуть поширюватись тільки у твердих тілах.
Фронтом хвилі називається геометричне місце точок середовища, які в даний момент починають коливатись, тобто до яких дійшов стан деформації. В залежності від форми фронту хвилі поділяються на плоскі, сферичні, циліндричні, еліптичні і т.д.
Хвильовою поверхнею називається геометричне місце точок середовища, які коливаються в однаковій фазі. Отже фронт хвилі це одна із хвильових поверхонь.
Довжина
хвилі λ –
це відстань, на яку переміщується із
швидкістю
фронт хвилі за один період Т коливання
елементів середовища
.
(11.1)
Знайдемо
рівняння хвилі, яке повинне давати
можливість знайти зміщенняS
від положення рівноваги будь-якої точки
середовища в довільний момент часу.
Отже це функція S=S(x,y,z,t)
чотирьох аргументів: координат і часу.
Нехай джерело плоскої хвилі знаходиться
в початку координат і починає генерувати
гармонічні коливання за законом
.
(11.2)
Плоска
хвиля поширюється із швидкістю υ
в напрямку
одиничного вектора
,
який перпендикулярний до хвильової
поверхні (рис.11.1).
Точки, віддалені від джерела на відстань
ℓ,
почнуть коливатися пізніше від джерела
на час затримки
.
Положення
точок хвильової поверхні задамо
радіус-вектором
,
який утворює з напрямкомℓ
кут φ.
Із простих геометричних міркувань і
означення скалярного добутку векторів
можемо записати
.
Із врахуванням (11.2)
і запізнення початку коливань на час τ
закон коливання точок хвильової поверхні
набуде виду
.
(11.3)
Враховуючи
(11.1)
та означення циклічної частоти, відношення
.k
називається
хвильовим числом. Його вважають вектором,
направленим перпендикулярно до хвильової
поверхні, тобто співпадає з нормальним
вектором
.
(11.4)
Таким чином, рівняння (11.3) хвилі набуває виду
.
(11.5)
В одномірному випадку при поширенні хвилі вздовж осі ох маємо
.
(11.6)