11.6 Електромагнітні хвилі та їхні властивості

_{Диференціальні рівняння електромагнітної хвилі мають вид}

_{, (11.17)}

_{. (11.18)}

_{Розв’язок цієї системи рівнянь дає рівняння електромагнітної хвилі}

_{(11.19 )}

_{Швидкість електромагнітних хвиль . (11.20)}

_{Для вакууму ε = 1, μ =1 , що співпадає зі швидкістю світла. На цій основі Максвел запропонував електромагнітну теорію світла.}

_{Отже властивості електромагнітних хвиль такі:}

1. _{Швидкість поширення дорівнює швидкості світла.}

2. _{Це хвилі поперечні, причому вектори напруженостей перпендикулярні між собою і перпендикулярні до вектора швидкості (рис.11.7).}

3. _{Електромагнітна хвиля описується рівняннями гармонічних хвиль, причому фази коливань електричного і магнітного полів однакові}

4. _{Між амплітудами напруженостей існує зв’язок . (11.21)}

5. _{Електромагнітні хвилі, так же як і світло, відбиваються, заломлюються, можуть бути поляризованими.}

11.7 Енергія електромагнітних хвиль. Вектор Умова-Пойнтінга

_{Електромагнітна хвиля переносить енергію, яка складається із енергії електричного і магнітного полів. Густина енергії .}

_{Густина потоку енергії, тобто енергія, яку переносить хвиля за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну до напрямку поширення хвилі .}

_{. (11.22)}

_{називається вектором Умова-Пойнтінга., який означає потік потужності електромагнітної хвилі.}

11.8 Приклади розв’язку задач

Задача 1. Поперечна хвиля поширюється вздовж пружного шнура зі швидкістю U = 15 м/с. Період коливань точок шнура Т = 1,2 с, амплітуда А = 2 см. Визначити: 1) довжину хвилі λ; 2) Фазу Ф, зміщення S, швидкість υ, прискорення а точки на відстані х = 45 м від джерела в момент часу t = 4 c; 3) різницю фаз ΔФ точок з координатами х₁ = 20 м та х₂ =30 м.

Розв’язок. 1) Довжина хвилі – це відстань, на яку поширюється хвиля за період .

2) Запишемо рівняння хвилі в одномірному випадку

.

Фаза хвилі – це аргумент гармонічної функції .

Зміщення .

Швидкість руху точок шнура в своєму коливальному русі дорівнює першій похідній із зміщення за часом

Прискорення

3) Знайдемо різницю фаз в один і той же момент часу t

Задача 2. Знайти швидкість поширення повздовжніх звукових хвиль у сталі.

Розв’язок. Теорія пружності дає для фазової швидкості повздовжніх хвиль. В таблицях знаходимо модуль Юнга для сталіі густину

Задача 3. Для визначення температури верхніх шарів атмосфери використовують ракету з гранатами, які вибухають при досягненні певної висоти. Експериментально встановлено, що звук від вибухів на висотах =19 км і h₂ = 21км приходять до приймача на землі з різницею Δt = 6,75 с. Знайти температуру на середній висоті 20 км.

Розв’язок. За час Δt звук проходить відстань h₂ - h₁. Тому швидкість звуку на заданих висотах . З другого боку , де молярна маса повітря μ = 29 г/моль, відношення теплоємностей двоатомного газу . Прирівнюємо праві частини рівнянь, або по шкалі Цельсія.

Задача 4. Два звуки відрізняються по рівню гучності на ΔL = 1 дб. Знайти відношення інтенсивностей цих звуків.

Розв’язок. За означенням гучності маємо _{Різниця гучностей . Знаходимо відношення}

Задача 5. Два поїзди рухаються назустріч один одному зі швидкостями V₁ = 20 м/с і V₂ = 15 м/с. Перший поїзд дає гудок із частотою ν_о = 600 Гц. Швидкість звуку V = 340 м/с. Знайти частоту коливань, яку сприймає пасажир другого поїзда перед зустріччю ν₁ поїздів і після неї ν₂.

Розв’язок. Для встановлення знаків швидкостей у формулі ефекту Доплера намалюємо напрямки швидкостей до та після зустрічі. Видно, що до зустрічі обидві швидкості поїздів позитивні, тому знаки у формулі ефекту Доплера зберігаються _{Після зустрічі знаки швидкостей поїздів змінюються на протилежні}

Задача 6. Спостерігач на березі моря чує гудок пароплава з частотою ν = 430 Гц. Куди і з якою швидкістю рухається пароплав, якщо його капітан сприймає гудок з частотою ν_о = 420 Гц? Швидкість звуку V = 340 м/с.

Розв’язок. Частота ν, яку сприймає спостерігач більша за частоту ν_о джерела звуку. Це можливо тільки у випадку руху джерела до спостерігача. Отже джерело звуку рухається за звуком, а тому швидкість джерела позитивна. Швидкість же приймача дорівнює нулю. Формула ефекту Доплера набуває виду

Задача 7. Коливальний контур складається із конденсатора ємністю С = 800 СГС_с і котушки індуктивністю 2 мГн. На яку довжину λ електромагнітної хвилі настроєний контур?

Розв’язок. Одиниця ємності в . Швидкість електромагнітних хвильНастроювання контуру на певну довжину хвилі означає, що власна частота (період) електричних коливань контуру дорівнює частоті (періоду) електромагнітної хвилі. Тому