6. Задачі для самостійного розв’язку

В.С.Волькенштейн. Сборник задач по общему курсу физики.

Задачи №: 12.13; 12.20; 12.33; 12.41; 14.25; 14.28.

І.П.Гаркуша та ін. Загальний курс фізики. Збірник задач. К. ”Техніка”. 2003.

Задачі №: 4.1; 4.26; 4.11; 4.15; 4.220; 4.235.

10 Згасаючі та вимушені коливання

10.1 Згасаючі коливання. Диференціальне рівняння згасаючих коливань та його розв’язок

Розглянемо механічну коливальну систему, наприклад, пружинний маятник, в якій діють сили тертя, пропорційні швидкості ,

де r – коефіцієнт опору.

Систему виводять із положення рівноваги і залишають саму собі. Виникають коливання. Така система дисипативна. Повна механічна енергія системи зменшується з часом, перетворюючись у немеханічні види енергії (в теплову). Амплітуда коливань зменшується. Коливання через деякий час припиняються. Виникають згасаючі механічні коливання. Одержимо диференціальне рівняння таких коливань.

Запишемо другий закон Ньютона

,- сила пружності. Одержуємо

, або . (10.1)

Тут - коефіцієнт згасання.

У реальному коливальному контурі завжди є активний опір R (рис.10.1) – це опір дроту контуру. У відповідності із законом Джоуля-Ленца на ньому виділяється тепло, тобто енергія контуру перетворюється в теплову. Тому в реальному контурі коливання завжди згасаючі. Запишемо другий закон Кірхгофа

, або .

Одержуємо . (10.2)

Тут - коефіцієнт згасання.

Диференціальне рівняння (10.1) згасаючих механічних коливань ідентичне диференціальному рівнянню (10.2) електричних згасаючих коливань. Знайдемо розв’язок одного із них, наприклад, (10.2).

Характеристичне рівняння має вид , а розв’язок рівняння (10.2) має вид

,

де– корені характеристичного рівняння. В залежності від співвідношення між β і ω_о вони можуть бути комплексними при і дійсними при .

Коли , мають місце згасаючі коливання. Частота цих коливаньменша, ніж частота ω_о незгасаючих коливань. Корені характеристичного рівняння набудуть виду , а заряд конденсатора буде змінюватись за законом

. (10.3)

Із (10.3) видно, що амплітуда зменшується з часом по експоненціальному закону (рис.10.2).

У випадку, коли втрата енергії настільки велика, що коливання не виникають. Система повертається до стану рівноваги (релаксує) аперіодично (рис.10.3). Критерієм переходу до аперіодичного процесу релаксації є рівняння.. ПриR < R_k виникають згасаючі коливання, при R > R_k – аперіодичний процес релаксації.

2. Характеристики згасаючих коливань та їх фізичний зміст

1) Коефіцієнт згасання: для механічних коливань

(10.4)

і для електричних коливань.

(10.5)

Коефіцієнт опору r аналогічний електричному опору R.

2) Час релаксації τ – це час, за який амплітуда коливань зменшується в е раз. В момент часу t амплітуда , а в момент часу

. За означенням часу релаксації відношення цих амплітуд дорівнює е, тобто . Одержали, або. Час релаксації обернений коефіцієнту згасання.

3) Циклічна частота згасаючих коливань менша, ніж власних незгасаючих. Для механічних коливань, а для електричних.

4) Період згасаючих коливань більший, ніж незгасаючих. При. Коливання не виникають, а відбувається аперіодичний процес релаксації.

5) Декремент згасання D – це відношення послідовних амплітуд

. (10.6)

6) Логарифмічний декремент згасання λ – це натуральний логарифм декременту згасання . Він дорівнює оберненому числу коливаньN_e за час релаксації, тобто обернений числу коливань, за які амплітуда зменшується в е раз.

7) Величина називається добротністю. З’ясуємо її фізичний зміст. Для цього знайдемо відношення енергії системи в якийсь момент часу до енергії, яка втрачається системою за період (за одне коливання). Так як енергія коливань пропорційна квадрату амплітуди, маємо

Розкладемо в степенний ряд, скориставшись формулою степенного раду для експоненти. При малих λ, тобто при слабкому згасанні, можна обмежитись двома першими членами ряду, так як решта набагато менші. Одержимо. Отже. Таким чином, добротність

характеризує втрату енергії при згасаючих коливаннях і дорівнює добутку 2π на відношення енергії системи до втрати енергії за період.

Знайдемо добротність коливального контуру

. При слабкому згасанні ,

тому . (10.7)

При R = 0 коливання незгасаючі і Q = ∞.