5. Интегральная теорема Лапласа.

Вновь будем предполагать, что производится испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияпостоянна и равна. Как вычислить вероятностьтого, что событиепоявится виспытаниях не менееи не болеераз (для краткости будем говорить “отдораз”) ? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа.

Теорема 3.2. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятностьтого, что событиепоявится виспытаниях отдораз, приближенно равна определенному интегралу

,

где и .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для интегралаприведена в приложении 2. В таблице даны значения функциидля положительных значений, дляпользуются той же таблицей (функциянечетна т. е.). В таблице приведены значения интеграла лишь до, так как дляможно принять.

Итак, вероятность того, что событие появится внезависимых испытаниях отдораз, приближенно равна

,

где и.

Пример 4. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, равна . Найти вероятность того, что средислучайно отобранных деталей окажется нестандартных отдодеталей.

Решение. По условию ,,,,. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

.

Вычислим нижний предел интегрирования:

.

Вычислим верхний предел интегрирования:

.

Таким образом, имеем

.

По таблице (приложение 2) находим

, .

Искомая вероятность равна

.

6. Использование интегральной теоремы Лапласа.

Если число (число появлений событияпринезависимых испытаниях) будет изменяться отдо, то дробьбудет изменяться отдо. Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:

. (3.6)

Поставим своей задачей найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятностипо абсолютной величине не превышает заданного числа. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства, или, что то же самое,. Эту вероятность будем обозначать так:. С учетом формулы (3.6) для данной вероятности получаем (выкладки опускаем виду их громоздкости):

. (3.7)

Пример 5. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна . Найти вероятность того, что среди случайно отобранныхдеталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятностипо абсолютной величине не более, чем на.

Решение. По условию ,,,. Требуется найти вероятность. Пользуясь формулой (3.7), будем иметь:

.

По таблице (приложение 2) находим , следовательно,. Итак, искомая вероятность приближенно равна. Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб подеталей в каждой, то примерно в% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит.

7. Формула Пуассона для маловероятных событий.

Если вероятность наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний, но при небольшой величине произведенияполучаемые по формуле Лапласа значения вероятностейоказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле.

Теорема 3.3. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытанийдостаточно велико, но произведениеостается небольшим (не больше десяти), то вероятностьтого, что в этих испытаниях событиенаступитраз

.

Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы Пуассона, составлена таблица значений функции Пуассона (приложение 3).

Пример 6. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна . Найти вероятность того, что средидеталей окажетсянестандартных.

Решение. Здесь ,, а. Все три числа удовлетворяют требованиям теоремы 3.3, поэтому для нахождения вероятности искомого событияприменяем формулу Пуассона. По таблице значений функции Пуассона (приложение 3) прииполучаем.

Найдем вероятность того же события по формуле Лапласа. Для этого сначала вычисляем значение , соответствующее:

.

Поэтому приближенное значение искомой вероятности согласно формуле Лапласа таково:

,

а точное значение ее, которое дает формула Бернулли, такое:

.

Таким образом, относительная ошибка вычисления вероятностей по приближенной формуле Лапласа составляет, или%, а по формуле Пуассона - , или%, т. е. во много раз меньше.

ЗАДАЧИ

1. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце восьми дней три дня окажутся дождливыми ?

Ответ: .

2. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): три партии из четырех или пять из восьми ?

Ответ: вероятнее выиграть три партии из четырех.

3. Изделия некоторого производства содержат % брака. Найдите вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.

Ответ: а) ; б).

4. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной . Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех ?

Ответ: .

5. Вероятность рождения мальчика равна , а девочки -. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.

Ответ: .

6. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна . Телефонная станция обслуживаетабонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят пять абонентов ?

Ответ: .

7. Имеется общество из человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна.

Ответ: .

8. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна . Какова вероятность, что прииспытаниях успех наступит: а) ровнораз ? б) ровнораз ?

Ответ: а) ; б).

9. Какова вероятность того, что в столбике из ста наугад отобранных монет число монет, расположенных “гербом” вверх, будет отдо?

Ответ: .

10. Производство дает % брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование изделий бракованных будет не больше?

Ответ: .