3. Наивероятнейшее число появлений события.

Наивероятнейшим числом появления события внезависимых испытаниях называется такое число, для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события. Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытанийи вероятность появления событияв отдельном испытании. Обозначим вероятность, соответствующую наивероятнейшему числу, через. Используя формулу (3.2), можно записать:

(3.3)

Согласно определению наивероятнейшего числа, вероятности наступления события соответственноираз должны, по крайней мере, не превышать вероятность, т. е.

,

.

Подставляя в неравенства значение и выражения вероятностейи, имеем:

,

.

Решая эти неравенства относительно , получим:

;

Объединяя последние неравенства, получим двойное неравенство, которое используется для определения наивероятнейшего числа

. (3.4)

Так как длина интервала, определяемого неравенством (3.4), равна единице

,

и событие может произойти в испытаниях только целое число раз, то следует иметь в виду, что:

1) если - целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно:и;

2) если - дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (3.4);

3) если - целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно:.

При больших значениях пользоваться формулой (3.3) для подсчета вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу, неудобно. Если в равенство (3.3) подставить формулу Стирлинга

,

справедливую для достаточно больших , и принять наивероятнейшее число равным, то получим формулу для приближенного вычисления вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу:

. (3.5)

Пример 2. Известно, что часть продукции, поставляемой заводом на торговую базу, не удовлетворяет всем требованиям стандарта. На базу была завезена партия изделий объемомштук. Найти наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, и вычислить вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий.

Решение. По условию ,,. Согласно неравенству (3.4) имеем

,

откуда . Следовательно, наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, в партии изштук равно. Подставляя данные в формулу (3.5), вычислим вероятность наличия в партии наивероятнейшего числа изделий:

.

4. Локальная теорема Лапласа.

Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях весьма затруднительно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если,,, то для отыскания вероятностинадо вычислить выражение. Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли ? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровнораз виспытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Теорема 3.1. Если вероятность появления событияв каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятностьтого, что событиепоявится виспытаниях ровнораз, приближенно равна (тем точнее, чем больше) значению функции

при .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента(приложение 1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функциячетна, т. е..

Итак, вероятность того, что событие появится виспытаниях ровнораз, приближенно равна

,

где .

Пример 3. Найти вероятность того, что событие наступит ровнораз виспытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна.

Решение. По условию ,,,. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

.

Вычислим определяемое данными задачи значение :

.

По таблице (приложение 1) находим . Искомая вероятность равна:

.

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки, ввиду их громоздкости, опущены):

.