14

ИСПЫТАНИЯ ПО СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ

Определение повторных независимых испытаний. Формулы Бернулли для вычисления вероятности и наивероятнейшего числа. Асимптотические формулы для формулы Бернулли (локальная и интегральная теоремы Лапласа). Использование интегральной теоремы. Формула Пуассона для маловероятных случайных событий.

1. Повторные независимые испытания.

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие . При этом представляет интерес исход не каждого отдельного испытания, а общее число появлений событияв результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числапоявлений событияв результатеиспытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления событияв каждом испытании постоянна.

Если вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называютсянезависимыми относительно события , илиповторными независимыми испытаниями. Если независимые испытания производятся в одинаковых условиях, то вероятность события в этих испытаниях одна и та же. При изменении условий испытаний вероятность событияот испытания к испытанию меняется. Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаковый, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.

2. Формула Бернулли.

Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события в-м испытании. Пусть производитсянезависимых испытаний, в каждом из которых событиеможет либо появиться с вероятностью, либо не появиться с вероятностью. Рассмотрим событие, состоящее в том, что событиев этихиспытаниях наступит ровнораз и, следовательно, не наступит ровнораз. Обозначим через() появление события, через- непоявление событияв-м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем

…,

….

Событие может появитьсяраз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием. Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний изэлементов по, т. е.. Следовательно, событиеможно представить в виде суммы сложных событий, несовместных между собой, причем число слагаемых равно:

, (3.1)

где в каждое произведение событие входитраз, авходитраз. Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна. Так как общее число таких событий равно, то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получим вероятность события(обозначим ее через):

,

или

. (3.2)

Полученную формулу называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называютсяиспытаниями Бернулли или схемой Бернулли.

Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна . Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.

Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому по формуле (3.2), полагая ,,, получим:

.