5. Основні теореми про спектри.

Приведемо без доказу кілька теорем про спектри, що виражають основні властивості перетворення Фур'є.

1. Теорема додавання. Спектр суми декількох сигналів

(5.1)

дорівнює сумі спектрів цих сигналів:

(5.2)

У справедливості цього вираження легко переконатися використовуючи вираження (4.3) і (4.4).

2. Теорема запізнювання (за годиною). Спектральна щільність сигналу, отриманого при зрушенні сигналу S(t) по осі годині на, визначається вираженням:

(5.3)

тобто зрушення функції по осі годині приводити до появи фазового зрушення для всіх частотних складових, рівного .

У справедливості останнього вираження легко переконатися, замінивши в (4.3) t на .

3. Теорема зсуву (по частоті). Якщо S(j) - спектр функції S(t), то спектру , отриманому шляхом зрушення вихідного спектра по осі частот на величину відповідає функція:

(5.4)

4. Теорема про спектри похідної й інтеграла. Спектри похідної й інтеграла від функції S(t) визначається відповідно вираженнями:

, (5.5)

.

5. Теорема про спектр згортки. Згорткой двох функцій S₁(t) і S₂(t) називається інтеграл:

. (5.6)

Спектр згортки двох функцій дорівнює добутку спектрів функцій, що згортаються:

. (5.7)

В окремому випадку, коли S₁ (t)=S₂ (t), одержимо

. (5.8)

Використовуючи останнє вираження, легко одержати раніше введена рівність Парсеваля (4.12).

6. Теорема про спектр добутку сигналів. Спектральна щільність добутку двох сигналів визначається згорткой їхніх сигналів і:

(5.9)

6. Приклади спектрів імпульсних сигналів

Розглянемо деякі конкретні приклади спектрального аналізу імпульсних сигналів.

1. Одиночний прямокутний імпульс.

Нехай мається прямокутний імпульс тривалістю й амплітудоюh (малий.6.1). Для такого імпульсу прямимо перетворенням Фур'є знаходимо:

, (6.1)

де - площа імпульсу. Графік модуля спектра для позитивних частот показань на малий. 6.1. Спектральна щільність звертається в нуль при, а при= 0 S() = q.

Рис. 6.1.

Зауважуємо, що при зменшенні тривалості імпульсу функція S() розтягується, тобто ширина спектра збільшується. При збільшенні _іширина спектра зменшується.

Якщо обмежити спектр прямокутного імпульсу першим нулем спектральної щільності, тобто круговою чи частотою циклічною частотою, то для добутку тривалості імпульсуна ширину спектраодержимо:

. (6.2)

Ця рівність є приватним випадком більш загальної рівності, справедливого для всіх імпульсних сигналів

, (6.3)

відповідно до якого добуток ширини спектра сигналу на його тривалість є величина постійна, близька до одиниці. Існує кілька визначень тривалості імпульсу і ширини спектра. Відповідно до одному з їх під тривалістю імпульсу (шириною спектра) розуміється проміжок години (смуга частот), у якому зосереджена гнітюча частина енергії імпульсу.

2. Дзвоновий (гауссов) імпульс.

Дзвоновим називається імпульс, що описується функцією:

. (6.4)

Для спектральної щільності такого імпульсу з використанням перетворення Фур'є одержимо:

. (6.5)

Графіки дзвонового імпульсу і модуля його спектра показані на мал. 6.2. Першою особливістю такого імпульсу є те, що спектральна щільність його збігається за формою з тимчасовою функцією, тобто є також гауссовой кривої. Іншою особливістю такого імпульсу є те, що з усіх можливих форм імпульсів він має найменший добуток тривалості на ширину спектра.

Рис. 6.2.

3. Одиничний імпульс.

Одиничним імпульсом чи дельта-функцією (t) називається функція нескінченно малої тривалості з кінцевою площею, рівній одиниці:

. (6.6)

Таку функцію можна розглядати як межа прямокутного імпульсу з тривалістю  і висотою при. Спрямовуючи в (6.1)для спектральної щільності одиничного імпульсу одержимо:

S(j)=1. (6.7)

Цей же результат можна одержати і звичайним способом:

, (6.8)

тому що (t)=0 при всіх значеннях , а приt=0 експонентний множник звертається в одиницю. Отут використовувалася так називане фільтруюче властивість -функції, відповідно до якого

. (6.9)

Таким чином, спектр одиничного імпульсу є суцільним і рівномірної з одиничною спектральною щільністю аж до нескінченно великих значень частоти.

Одиничний імпульс є математичною абстракцією. Фізично можна реалізувати тільки короткий імпульс, тобто імпульс дуже малої тривалості , із площею, рівної q. Спектр такого імпульсу визначається вираженням:

.

При малих  величина

і . (6.10)

Отже, короткий імпульс будь-якої форми має рівномірний спектр аж до частот порядку (поки виконується умова<<1). Далі спектральна щільність починає убувати.

4. Одинична функція.

Одинична функція, одиничний стрибок чи функція включення записується у виді:

(6.11)

Рис.6.3.

Помітимо, що розглянутий раніше одиничний імпульс можна розглядати як похідну одиничної функції

,

а одиничну функцію можна виразити інтегральним співвідношенням:

. (6.12)

Використовуючи теорему про спектр інтеграла (5.5) і вираження (6.7), одержимо:

. (6.13)

Модуль спектра цієї функції є . Залежність його від частоти показана на мал. 6.3 б.

Одинична функція широко використовується як іспитовий сигнал при дослідженні перехідних процесів в електричних ланцюгах. Нагадаємо, що відгук ланцюга h(t) на одиничну функцію називається перехідною характеристикою.

5. Періодична послідовність прямокутних імпульсів.

Розглянемо періодичну послідовність прямокутних імпульсів із тривалістю  і періодом Т (малий. 6.4.). Використовуючи (3.13), для такої послідовності одержимо:

. (6.14)

де - величина, називана шпаруватістю періодичної послідовності.

Цей же результат можна одержати і з вираження (6.1), використовуючи співвідношення (4.10). Графік модуля спектра (6.14) для позитивних частот показань на мал.6.4. (при Q = 3).

На підставі (3.11) і (6.14) періодична послідовність прямокутних імпульсів розкладається в ряд Фур'є в такий спосіб:

Рис. 6.4.

. (6.15)

Відзначимо тепер наступну обставину. Якщо при незмінній тривалості імпульсу збільшується період Т послідовності, то відстань між спектральними лініями зменшується, відстань же між нулями тієї що огибає спектра, рівне, залишається незмінним. При незмінному періоді Т і зміні тривалості імпульсу буде мінятися відстань між нулями огибающої спектра. Число гармонік, що укладаються вчи інтервалі між будь-якими двома сусідніми нулями, буде визначатися величиною

. (6.16)

тобто шпаруватістю періодичної послідовності.

6. Одиночний радіоімпульс.

Радіоімпульсом називається імпульс, тимчасова функція якого записується у виді:

(6.17)

де - тривалість імпульсу, a(t) - що обгинає радіоімпульсу, _про -частота, а _про - початкова фаза високочастотного коливання, період якого . Спектральна щільність радіоімпульсу відповідно до (4.3) буде дорівнювати:

, (6.18)

де

,

(6.19)

.

• спектральні щільності що обгинає імпульсу a(t), зміщені по осі частот на постійну величину .

Таким чином, спектральна щільність радіоімпульсу цілком визначається спектральною щільністю його що обгинає. Можна показати, що при  >> Ті і >0 для більшості радіоімпульсів виконується умова:

. (6.20)

Тому з достатньою точністю спектральну щільність одиночного радіоімпульсу для позитивних частот можна визначати по формулі:

. (6.21)

Проілюструємо сказане на прикладі радіоімпульсу з прямокутної що обгинає (малий. 6.5):

(6.22)

З (6.18) і (6.19) одержимо:

відкіля для модуля і фази спектральної щільності знаходимо:

, (6.24)

.

Рис. 6.5.

Графік модуля спектральної щільності для позитивних частот показань на мал. 6.5.

Як і треба було очікувати, відрізок гармонійного коливання має суцільний спектр. При необмеженому збільшенні тривалості імпульсу  одержимо гармонійне коливання в точному змісті визначення періодичної функції. Суцільний спектр коливання при цьому вироджується в одну спектральну лінію на частоті _ .