4. Спектри неперіодичних сигналів

Розкладання в ряд Фур'є може бути узагальнено і на випадок неперіодичного сигналу. Дійсно, нехай мається періодичний сигнал з періодом Т и визначеними амплітудним і фазовим спектром (рис 4.1).

Рис.4.1.

Якщо функція залишається незмінної на інтервалі , то неперіодичну функцію можна розглядати як граничний випадок періодичної функції з необмежено зростаючим періодом. При збільшенні Т частота першої гармонікизменшується і спектральні лінії на мал.4.1 б розташовуються частіше. У межі, при, інтервал між лініями в спектрі скорочується до нуля, тобто спектр замість дискретного стає суцільним, безупинним. Амплітуди гармонік С_к, згідно (3.13), стають нескінченно малими. Математично це можна виразити в такий спосіб. Уведемо замість (3.13) функцію:

. (4.1)

Тоді замість (3.11) одержимо:

. (4.2)

При частота k може приймати будь-яку значення ,

Тому замість (4.1) і (4.2) остаточно одержимо:

, (4.3)

. (4.4)

Ці два вираження звуться пари перетворень Фур'є, що зв'язує між собою функцію години S(t) і комплексну функцію частоти S(j).

Фізичний зміст формули (4.4) полягає в тому, що неперіодичний сигнал S(t) має безупинний спектр, тобто представляється нескінченною сумою гармонійних коливань з нескінченно малими комплексними амплітудами (порівн.(3.11))

. (4.5)

Функція має розмірністьі показує амплітуду сигналу, що приходитися на одиницю смуги частот у 1 Гц. Тому ця безупинна функція частоти називаєтьсяспектральною щільністю комплексних амплітуд чи просто спектральною щільністю.

Аналогічно (3.12) спектральну щільність комплексних амплітуд можна представити у виді:

, (4.6)

де

(4.7)

і (4.8)

Функція S()=|S(j)| називається модулем спектральної щільності чи спектральною щільністю амплітуд, а  () - спектральною щільністю фаз.

Відзначимо одну важливу обставину. Порівнюючи вираження (3.13) і (4.1), зауважуємо, що при = k вони відрізняються тільки постійним множником, а

(4.9)

тобто комплексні амплітуди періодичної функції з періодом Т можна визначати по спектральній щільності неперіодичної функції такого ж виду, заданої в інтервалі . Сказане справедливо і стосовно модуля спектральної щільності:

(4.10)

Це співвідношення формулюється в такий спосіб: що обгинає суцільного амплітудного спектра неперіодичної функції й що обгинає амплітуд лінійчатого спектра періодичної функції збігаються за формою і відрізняються тільки масштабом (мал.4.1б).

Обчислимо тепер енергію неперіодичного сигналу. Множачи обидві частини рівності (4.4) на S(t) і інтегруючи в нескінченних межах, одержимо:

(4.11)

де S(j) і S(-j)- комплексно-сполучені величини. Тому що

то

(4.12)

Це вираження називається рівністю Парсеваля для неперіодичного сигналу й аналогічно (3.16), однак у відмінності від останнього воно визначає не середню потужність, а повну енергію сигналу.

З (4.12) видно, що S²() є не що інше, як енергія сигналу, що приходитися на 1 Гц смуги частот біля частоти . Тому функцію S²() іноді називають спектральною щільністю енергії сигналу S(t).