2. Представлення сигналів (функцій) у виді ряду.

У математиці широко використовується представлення чисел і функцій у виді ряду (числові і функціональні ряди). Будь-яку задану в інтервалі годині функціюможна представити у виді ряду по будь-яких інших функціях, прийнятим у якості “елементарних”:

. (2.1)

Збіжність цього ряду майже завжди забезпечується. Функції в цьому випадку називають функціями розкладання, а коефіцієнти-коефіцієнтами розкладання. Задача розкладання завжди зводиться до вибору функційі визначенню коефіцієнтів розкладання. Безліч коефіцієнтівназивають узагальненим спектром.

При виборі функцій розкладання звичайно керуються наступними основними вимогами:

1. Простота математичного аналізу, у тому числі простота визначення коефіцієнтів;

2. Досить швидка збіжність ряду;

3. Простота генерації функцій розкладання.

Коефіцієнти розкладання найбільше легко визначаються, якщо функціїмають властивістьортогональності. Функції називаються ортогональними, якщо для них виконується умова

(2.2)

Множачи ліву і праву частини вираження (2.1) на й інтегруючи на інтервалі, з обліком ортогональності одержимо

. (2.3)

Для точного відтворення функції при представленні її у виді ряду необхідно підсумовувати в загальному випадку нескінченне число членів. У деяких випадках припустиме представлення функції з деякою погрішністю. При цьому в розкладанні (2.1) можна обмежиться кінцевим числом членів:

. (2.4)

Погрішність представлення функції зручно оцінювати величиною середньоквадратичної помилки

. (2.5)

При виборі функцій розкладання в цьому випадку необхідно керуватися умовою забезпеченням мінімуму помилки при заданому числі членів ряду. При величина середньоквадратичної помилки прагне до нуля, тому що

. (2.6)

Останнє вираження аналогічне рівності Парсеваля, використовуваному в апараті Фур'є.

Таким чином, усяку функцію з деякою погрішністю можна представити у виді ряду з кінцевим числом членів. Представлення беззупинного коливання у виді набору кінцевого числа функцій чи чисел називають іноді дискретизацією.

Можливість представлення функцій у виді кінцевого ряду дозволяє здійснити наступний спосіб передачі безупинного сигналу . На передавальному кінці сигналможна розкласти в ряд по обраних функціяхі передавати не сигнал, а лише коефіцієнти розкладання. На прийомному кінці, маючи генератори функцій, по прийнятих коефіцієнтах можна відновити переданий сигнал. Отже, з цього погляду як функції розкладання необхідно вибирати такі, котрі легко генерувати.

У радіотехніку й електрозв'язку широко використовуються два види ортогональних розкладань: розкладання Фур'є по гармонійних функціях і розкладання Котельникова по функціях відсіків.

3. Спектральне представлення періодичних сигналів

Як відзначалося вище, сигнали зв'язку по своїй природі є випадковими процесами. Однак, окремі реалізації випадкового процесу і деякі спеціальні (наприклад, іспитові) сигнали можна вважати детермінованими функціями. Останні прийнято поділяти на періодичні, майже періодичні і неперіодичні, хоча строго періодичних сигналів у реальних умовах не існує.

Сигнал називається періодичним, якщо він задовольняє умові:

S(t)=S(t+к) (3.1)

на інтервалі , де T - постійна величина, називана періодом, ак - будь-яке ціле число.

Неперіодичним називається сигнал, що не задовольняє умові (2.1.1) на всій осі годині. Він задається на кінцевому чи напівнескінченномуінтервалі години, а за межами цього інтервалу приймається тотожно рівним нулю. Неперіодичний сигнал можна розглядати як періодичний, але з нескінченно великим періодом. Однієї з характеристик неперіодичного сигналу є його тривалість, під якою розуміють або тривалість, що відповідає всьому повідомленню чи відрізку повідомлення, або тривалість окремого елемента (наприклад, елемента кодової комбінації).

Майже періодичним сигналом називається такий, для якого період можна вказати лише приблизно. Такими сигналами є, наприклад, сигнали, що можуть бути представлені у виді суми гармонійних складових з довільними (некратними) частотами.

У теорії сигналів, радіотехніці й електрозв'язку широко використовується спектральне представлення сигналів по Фур'є. Спектральним представленням детермінованого сигналу S(t) називається його представлення у виді суми кінцевого чи нескінченного числа гармонійних складових. Основою спектрального представлення сигналів є перетворення Фур'є. Розглянемо спочатку спектральне представлення немодульованих сигналів.

Як відомо з математики, будь-яку періодичну функцію з періодом Т, що задовольняє умовам Діріхле, можна представити у виді ряду Фур'є:

, (3.2)

де , а коефіцієнтиівизначаються по формулах:

(3.3)

Величина

(3.4)

визначає середнє значення сигналу за період і називається постійної складовий. Частота називається основною частотою чи сигналу першою гармонікою, а кратні їй частоти F_к =k - вищими гармоніками.

Сімейство тригонометричних функційє ортогональним на інтервалі:

Вираження (3.2) можна переписати в такий спосіб:

, (3.5)

де

(3.6)

Зворотні залежності для коефіцієнтів a_к і в_к мають вид:

, (3.7)

При формі запису (3.5) коефіцієнт С_к виражає амплітуду, а - фазук-ої гармоніки. Сукупність коефіцієнтів С_к зветься спектра амплітуд, а сукупність значень - спектра фаз. На рис 3.1 приведень графік спектра амплітуд періодичного сигналу. Аналогічний вид має і спектр фаз. Спектр періодичної функції називається лінійчатим чи дискретним, тому що складається з окремих ліній, що відповідають частотам 0, , 2 ,...

Рис. 3.1

Якщо функція S(t), що описує сигнал, парна, тобтоS(t) = S(-t), ті згідно (3.3) усі вк =0, і відповідний їй ряд Фур'є буде містити тільки косінусоідальні члени. Якщо функція S(t) - непарна, тобто S(t) = -S(-t), те в ряді Фур'є будуть тільки синусоїдальні члени.

З використанням вираження:

замість (3.5) можна записати:

(3.8)

Відповідно до виражень (3.3) і (3.6) коефіцієнти С_к і а_к парні відносно k, а коефіцієнти в_к і фазові кути - непарні, тобто:

(3.9)

Тому другу суму в (3.8) можна представити в наступному виді:

(3.10)

Поєднуючи обидві суми вираження (3.8), одержимо так називану комплексну чи показову форму ряду Фур'є:

(3.11)

де коефіцієнти називаються комплексними амплітудами гармонік і зв'язані з коефіцієнтами С_к і , а такожа_к і в_к співвідношеннями:

(3.12)

На підставі виражень (3.12) і (3.3) можна також записати:

. (3.13)

Порівнюючи (3.5) і (3.11), зауважуємо, що при використанні комплексного запису ряду Фур'є негативні значення k дозволяють говорити про складові з "негативними" частотами. Однак поява негативних частот має формальний характер і зв'язаний з використанням комплексної форми запису для представлення дійсного сигналу. Справді, гармонійної складовий з "фізичною" частотою _ДО = k у вираженні (3.11) відповідає наступна пари доданків:

.

Ця пари доданків, унаслідок парності модуля С_к =|| і непарності фази, дає в сумі речовинну гармонійну функцію з позитивною частотою:

Через подвоєння числа складових при використанні показової форми запису ряду Фур'є амплітуди їх у 2 рази зменшуються. Використання такого запису в значній мірі спрощує математичні викладення при дослідженні проходження сигналів через різні лінійні системи.

Обчислимо середню за період потужність сигналу:

, (3.15)

де хвиляста риска зверху означає усереднення за часом.

Підставляючи (3.2) у (3.15) і з огляду на, що

а інтегрування за період вихідної функції Т гармонійних коливань з подвоєною частотою і добутків косинусів і синусів з аргументами неоднакової кратності дає нуль, замість (3.15) одержимо:

. (3.16)

Це вираження зветься рівностю Парсеваля, що показує, що середня потужність сигналу дорівнює сумі середніх потужностей його частотних складових і не залежить від фазових співвідношень між окремими складовими.

Відзначимо, що представлення сигналів у виді ряду Фур'є дуже зручно при дослідженні проходження сигналів через різні лінійні ланцюги. Ряд Фур'є з усіх можливих ортогональних розкладань забезпечує найменшу погрішність представлення при заданому числі членів розкладання N. Однак ряд Фур'є незручний з реалізаційної точки зору, тому що операції гармонійного аналізу, а тім більше синтезу технічно здійснити досить важко.