- •Міністерство освіти і науки україни
- •1. Загальні теоретичні відомості
- •1.1 Моделювання економічних процесів
- •1.2 Створення економіко-математичної моделі і перевірка її точності
- •1.2.1 Побудова математичної моделі
- •1.2.2 Визначення параметрів емпіричної формули за методом найменших квадратів.
- •1.2.3 Перевірка точності знайденої емпіричної формули.
- •1.3 Загальний вигляд задачі лінійного програмування
- •1.4 Приведення задачі лінійного програмування до канонічного виду
- •1.5 Симплексний метод рішення задач лінійного програмування
- •1.6 Двоїста задача
- •1.7 Транспортна задача
- •1.8 Макроекономічні моделі економічного зростання
- •1.9 Моделі міжгалузевого балансу
- •1.10 Моделі економічної динаміки світогосподарських процесів
- •1.11 Сучасні тенденції у розвитку засобів економіко-математичного моделювання
- •2. Методичні рекомендації щодо оформлення і виконання контрольної роботи
- •2.1 Вказівки до виконання роботи
- •2.2 Розподіл варіантів контрольної роботи
- •2.3 Задачі до практичної частини
1.6 Двоїста задача
Двоїстою задачею називається задача, яка побудована з основної наступним шляхом:
|
Основна задача |
Двоїста задача |
|
f (x1, x2, …, xn) = c1x1 + c2 x2 + … + cn xn, max при обмеженнях a11x1 + a12 x2 + … + a1n xn b1 a21x1 + a22 x2 + … + a2n xn b2 ………………………………. am1x1 + am2 x2 + … + amn xn bm |
(y1, y2, …, ym) = b1y1 + b2 y2 + … + bm ym, min при обмеженнях a11y1 + a21 y2 + … + am1 ym c1 a12y1 + a22 y2 + … + am2 ym c2 ………………………………. a1ny1 + a2n y2 + … + amn ym cn |
змінюється напрямок оптимізації з min на max та навпаки.
Коефіцієнти при x переносяться в обмеження і з обмежень в цільову функцію.
Знаки “” змінюються на “”.
Матриця умов одной задачі фурмує матрицю умов іншої задачі шляхом транспонування.
Теорема. В основної та двоїстої задачі значення цільових функцій в оптимальних точках співпадають. При цьому якщо основна функція не обмежена, то двоїста задача не має рішення і навпаки.
Двоїста задача дозволяє спростити пошук рішення. Вона пов’язана з основною задачею наступними співвідношеннями. Якщо - припустиме рішення основної задачі, а - припустиме рішення двоїстої задачі, то f() ( ). Якщо f() = ( ), то і - оптимальне рішення.
Приклад 1. Побудувати двоїсту задачу до наступної лінейної моделі. Знайти максимум цільової функції F = х1 + 3х2 + х3, при обмеженнях:
3х1 + 2х2 - х3 ≤ 5
х1 - 4х2 - 2х3 ≤ 3
2х1 - 5х2 + х3 ≤ 2
xi 0 i = 1,2,3
Рішення. Побудову двоїстої задачі зручно виконувати за наступною схемою. Будуємо таблицю, в строки якої заносимо обмеження і цільову функцію. Якщо розглянути стовпці цієї таблиці, то вони є основою для побудови двоїстої задачі.
Таблиця 1.6.1
|
Двоїста Задача
Основна Задача |
Обмеження 1 |
Обмеження 1 |
Обмеження 1 |
|
Цільова функція | |||
|
Обмеження 1 |
+3 |
х1 |
+2 |
х2 |
-1 |
х3 |
≤ |
5 |
|
Обмеження 2 |
+1 |
х1 |
-4 |
х2 |
-2 |
х3 |
≤ |
3 |
|
Обмеження 3 |
+2 |
х1 |
-5 |
х2 |
+1 |
х3 |
≤ |
2 |
|
Цільова функція |
+1 |
х1 |
+3 |
х2 |
+1 |
х3 |
|
max |
Вводимо нову змінну y і будуємо нову цільову функцію. Останій стовпець, де розташовані вільні члени обмежень, використовуваємо як коефіцієнти до змінних в цільовій функції двоїстої задачі. Нова цільова функція має вигляд:
= 5y1 + 3y2 +2y3 min
Обмеження також будуються по коефіцієнтах в стовпцях. Вільні члени обмежень – це коефіцієнти з цільової функції основної задачі:
3y1 + y2 +2y3 1
2y1 – 4y2 – 5y3 3
-y1 – 2y2 + y3 1
yi 0 i = 1,2,3