1.2 Створення економіко-математичної моделі і перевірка її точності

1.2.1 Побудова математичної моделі

Для побудови математичної моделі конкретного економічного завдання (проблеми) рекомендується виконання наступних етапів робіт:

1. визначення відомих і невідомих величин, а також існуючих умов і передумов (що дано й що потрібно знайти?);

2. виявлення найважливіших факторів проблеми;

3. виявлення керованих і некерованих параметрів;

4. побудова емпіричних формул економіко-математичної моделі, математичний опис за допомогою рівнянь, нерівностей, функцій і інших відносин взаємозв'язків між елементами моделі (параметрами, змінними), з дотримуванням умов розглянутого завдання.

Відомі параметри завдання щодо її математичної моделі вважаються зовнішніми (заданими апріорі, тобто до побудови моделі). В економічній літературі їх називають екзогенними змінними. Значення ж споконвічно невідомих змінних обчислюються в результаті дослідження моделі, тому стосовно моделі вони вважаються внутрішніми . В економічній літературі їх називають ендогенними змінними.

Побудова емпіричних формул найбільш складний і відповідальний процесс створення економіко-математичної моделі. При обробці експериментальних даних виникає необхідність представляти їх у вигляді деякої наближеної залежності типу y = f(x). Задача формулюється наступним чином. Хай в результаті вимірювань отримана таблиця даних.

x0	x1	x2	…	xn
y0	y1	y2		yn

Необхідно побудувати функцію y = f(x), яка наближено відбіває наведену залежність. Ця залежність називається емпырычною формулою. Якщо характер залежності не відомий, то вид емпіричної формули може бути довільним. У цьому випадку перевага віддається найбільш простим формулам, які мають достатньо точну відповідність. Їх початковий вигляд можна обрати виходячі з геометричних міркувань.

1.2.2 Визначення параметрів емпіричної формули за методом найменших квадратів.

Цей метод знаходить саме широке застосування на практиці і забезпечує достатньу точність. Суть методу міститься в тому, що надбані емпіричні значення змінних вже визначені за підсумками досліджень, тому, якщо відома функція залежності, складаються рівняння, які дозволяють знайти параметри.

Запишемо суму квадратів відхілень для усіх точок x₀, x₁, x₂, … , x_n:

Парметри емпіричної формули a₀, a₁, …, a_m , будемо знаходити з умов мінімума функції S=S(a₀, a₁, …, a_m ). У цьому ви падку параметри a₀, a₁, …, a_m виконують роль незалежних змінних функції S , тому її мінімум можна знайти , якщо дорівняти нулю частки похідні по цім зміним:

Отримані співвідношення – є система рівнянь для визначення a₀, a₁, …, a_m .

Приклад 1. За підсумками дослідження було запропоновано визначити залежність між аргументами і функцією спостережень у вигляді емпіричної функції багаточлена:

За результатами вимірювань отримана таблиця значень.

x0	x1	x2	…	xn
y0	y1	y2		yn

За методом найменших квадратів відхілення визначаються функцією:

.

Знаходимо похідні по зміннім a₀, a₁, …, a_m , яки треба знайти, дорівнюємо їх нулю і отримуємо систему рівнянь:

;

;

...............................................................................

.

Збіраємо коефіцієнти при зміних a₀, a₁, …, a_m і отримуємо наступну систему рівнянь:

...............................................................................

Розв’язання наведеної системи рівнянь це значення a₀, a₁, …, a_m, які треба було знайти.