1.10 Моделі економічної динаміки світогосподарських процесів

Розвиток світо господарських систем має динамічну складову, тому більш адекватними є моделі що функціонують під впливом часу, ураховуючі інвестиційні процеси та динаміку виробничо-технологічної структури. Сучасна тенденція розвитку світо господарських систем – це перехід до переважно інтенсивного характеру розвитку.

Інтенсифікація виробництва має нерівномірний характер. Наприклад, фондомісткість коливається під впливом часу в залежності від етапу: введеня в дію нового обладнання, робочій період експлуатації, моральне старіння та оновлення обладнання.

Інвестиційні процеси також залежать від можливості попереднього накопичення. З цей точки зору дохід, який отримано за попередній період, витрачається на споживання і накопичення. Можна представити наступну схему розподілу національного доходу (Рис.1.10.1).

Рис. 1.10.1 Схема розподілу національного доходу.

Прикладом моделі динамічної системи світо господарських процесів є модель Солоу. В моделі Солоу економіка розглядається як єдине замкнене неструктуроване ціле, що виробляє один універсальний продукт, який може використовуватися на споживання та інвестиції. Основними макроекономічними показниками моделі є:

Y – валовий внутрішній продукт (ВВП);

I – валові інвестиції;

C – фонд споживання;

K – основні виробничі фонди (ОВФ);

L – кількість зайнятих у виробничій сфері.

Перші три змінні (Y, I, C) – це потокові показники (їх значення накопічуються протягом року). Змінні K, L – миттєві змінні (їх значення вимірюються в усякий момент безперервного часу). Основні балансові співвідношення це з одного боку те що Y = F(K, L), а з іншого – те що Y = I + C .

Для спрощення спостереження за динамікою розвитку розіб’ємо інтервал часу на періоди, які містяться між моментами часу t = 1, 2, …, T; t = 0 – базовий рік; t = T – кінцевий рік інтервалу часу, який досліджується. Кожного року Y_t = F(K_t , L_t ). Разом з тім змінні K, L можуть бути визначені через відповідні значення попереднього періоду. Припустимо що немає лага капітальних вкладень, а ВВП попереднього року було розподілено на спожівання та інвестиції:

Y_t-1 = C_t-1 + I_t-1 ,

Тоді значення K_t з урахуванням нових інвестицій та вибуттям застарілих ОВФ буде:

K_t = K_t-1 + I_t-1 – W_t-1 ,

де: I_t-1 – валові інвестиції, які визначаються часткою від ВВП, I_t-1 = Y_t-1 - C_t-1; W_t-1 – вибуття обладнання на початок періоду. Позначимо відношення W_t-1/ K_t-1 – як  коефіцієнт вибуття (норма вибуття). Можна вважати що в довгостроковому періоді при t  норма вибуття прийме фіксоване значення. Тому коефіцієнт  – можна розглядати як константу. Визначимо W_t-1=  K_t-1, тоді:

K_t = K_t-1 + I_t-1 –  K_t-1 або K_t = (1– ) K_t-1 + I_t-1 ,

Чисельність працюючих також змінюється. Якщо позначити коефіцієнтом  частку збільшення чисельності працюючих, то:

L_t = (1+ ) L_t-1.

Модель Солоу з дискретним визначенням часу має вигляд системи рівнянь:

де: t = 1, 2, …, T; t = 0 – базовий рік; t = T – кінцевий рік періоду, який досліджується; K₀, I₀, L₀ – вважаються заданими. Перше рівняння – виробнича функція для знаходження ВВП на підставі значень ресурсів – основних виробничих фондів (ОВФ) та чисельності працюючих. Друге рівняння – розподіл ВВП на інвестиції і споживання. Третє рівняння – рекурентне співвідношення для визначення ОВФ наступного року на підставі значень поточного року. Дане рівняння відбіває те, що інвестиції , які зроблені в поточному році, матеріалізуються в ОВФ наступного року, тобто лаг капіталовкладень дорівнює одному року.Четверте рівняння – рекурентне співвідношення для визначення кількості працюючих у наступному році. Це рівняння засновано на гіпотезі сталості річного темпа приросту кількості працюючих  .

За класифікацією на статичні та динамічні елементи преше рівняння –це нелінійний статичний елемент, друге – лінейний статичний елемент, третє та четверте лінейний динамічний елемент. Таким чином економіка в формі моделі Солоу є динамічною системою тому що в її складі існують динамічні елементи.

Рис. 1.10.2 Структурна схема моделі Солоу.

Будемо вважати , що час вимірюється с дискретністю t. Наприклад, квартал, місяць, тиждень, день. При дискретністі в один день час можна вважати практично безперервним. Хай t приймає значення t=t, 2t, …, nt, (n = T/t). При дискретності t модель Солоу буде мати наступний вигляд:

де: K_t, I_t, L_t – відповідно ВВП, інвестиції і споживання за рік, який починається в момент t;  K_t-t t – вибуття фондів за час (t-t, t); I_t-t t – інвестиції за час (t-t, t); L_t-t t – нарощування кількості працюючих.

При t  0 рівняння моделі Солоу приймають вигляд:

В моделі K(0) = K₀; L(0) = L₀; t [0,T].

Економічна динаміка може бути описана як кінцеве-разностними рівнянями, так і диференційними. Між математичними методами рішення диференційних і кінцево-різностних рівнянь немає суттєвої різниці. При вирішені диференційних рівнянь на ЕОМ їх заміняють на кінцеве-різностні.