6

2010.09.01

В.П. Пинчук

Анализ и построение алгоритмов и структуры данных для спец. КСС. -

Запорожье: ЗНТУ, 2010.

3. Анализ алгоритмов сортировки и поиска

1. Алгоритмы поиска

2. Сортировка методом парных перестановок

3. Метод пузырька

4. Метод вставки

5. Метод слияния

6. Метод вычерпывания

7. Результаты тестирования

1. Алгоритмы поиска

Задача

Дано: одномерный массив А размером n и искомое значение key.

Требуется: определить, содержит ли массив А значение key и, если да, то получить номер соответствующего элемента массива А.

Поиск в неупорядоченном массиве (последовательный поиск)

Достоинством алгоритма последовательного поиска является то, что он работает на неупорядоченных последовательностях. Недостаток - невысокая эффективность, алгоритм имеет линейный порядок, асимптотический класс O(n).

Искомое значение key последовательно сравнивается с элементами массива А. Наихудший случай будем иметь, когда искомое значение отсутствует в массиве, наилучший – когда искомое значение совпадает с первым элементом массива. Отсюда:

t  Constn ,

или t = f(n) = O(n) .

Т.о. рассматриваемый алгоритм является линейным по времени.

Поиск в упорядоченном массиве. Алгоритм бинарного поиска

Алгоритм бинарного поиска применим в случае, когда последовательность предварительно упорядочена. Ниже приведен пример функции, выполняющей бинарный поиск для массива, упорядоченного по возрастанию.

Int b_find(int* a, int n, int key) // key – искомое значение

{ int p = 0, q = n-1, k; // [p,q] – отрезок массива

while (q >= p) { k = p + (q-p)/2; // k – номер среднего эл-та

if (A[k] == key) return k;

if (A[k] < key) p = k + 1;

else q = k - 1;

}

return -1; // значение key не найдено

}

На каждом шаге этого алгоритма текущий отрезок массива делится на две части, размеры которых отличаются не более чем на единицу. Размер текущего отрезка массива на каждом шаге уменьшается в 2 раза (даже немного больше, чем в 2 раза, т.к. средний элемент на каждом шаге выбывает). Процесс завершается, когда размер очередного отрезка массива оказывается равным единице. Отсюда время будет равно:

t  Constlog₂(n) .

Отсюда: t = f(n) = O(log₂(n)) .

Результаты прямых экспериментов

Абсолютное время решения задачи поиска для n = 100 000 000 (худший случай, процессор E8400):

последовательный поиск: 80650 мкс

бинарный поиск: 3 мкс

2. Задачи сортировки. Сортировка методом парных перестановок

Алгоритмы решения задачи сортировки лежат в основе многих приложений (особенно следует отметить базы данных и экспертные системы). Задача поиска элемента с заданным значением решается намного быстрее, если массив предварительно упорядочен.

Назовем некоторые основные методы решения задачи сортировки:

- метод пузырька (существуют разные модификации);

- метод вставки;

- метод слияния.

Для представления алгоритмов будем использовать язык С++. Напомним, что, согласно правилам этого языка, элементы массива, имеющего n элементов имеют номера от 0 и до n-1.

Метод парных перестановок

Основой этого алгоритма является операция парного упорядочивания (упорядочивание пары соседних элементов массива). Пары упорядочиваются последовательно, начиная с первой пары (элементы с номерами 0, n-1) и до последней (элементы с номерами n-2, n-1). Для того, чтобы гарантировать полное упорядочивание любого массива, необходимо выполнить n-1 проходов парного упорядочивания. Таким образом, алгоритм содержит двойной цикл. Ниже представлен фрагмент программы, выполняющий сортировку массива A размером n элементов по убыванию.

Рассматриваем направление сортировки - по возрастанию.