Приклади розвязування задач

1. Знайдіть координати вектора в базисі, якщо він заданий в базисі:

.

Розвязання:

Нехай – координати векторав базисі. Складемо матрицю переходу від базисудо базису:

.

Тоді координати вектора в базисіможна визначитиз матричного рівняння:

.

Надаємо читачеві можливість самостійно переконатися в тому, що

.

Тому координати вектора в новому базисі набувають вигляду:

.

2. Нехай . Перевірте, чиє лінійним перетворення .

Розвязання:

Нехай вектори тамають координатиівідповідно. Перевіримо виконання властивостей лінійного перетворення для довільних векторів,:

З іншого боку:

.

Оскільки взагальномувипадку, тоідане перетворення неєлінійним.

3. Нехай ,,. Знайдіть .

Розвязання:

I спосіб. За умовою , тоді

.

Оскільки відображення є лінійним (читачеві не складе труднощів переконатися в цьому самостійно), то

.

Тому

.

IIспосіб. Знайдемо елементи матриць лінійних перетворень і. Для цього знайдемо образи базисних векторів:

Розташуємо їх по стовпцях та отримаємо матриці перетворень і:

.

Тоді:

або

.

4. Знайдіть матрицю оператора в базисі , де ,,, якщо вона задана в базисі :

.

Розвязання:

Знайдемо елементи матриці в новому базисі за формулою , де – матриця переходу від базисадо:

, .

Тоді

.

5. Доведіть лінійність, знайдіть матрицю, область значень і ядро оператора повороту щодо осі на кут вдодатному напрямку.

Рішення|розв'язання|:

Даному операторові відповідає перетворення, яке, очевидно, є лінійним.

Для знаходження матриці оператора знайдемообрази базисних векторів:

.

Для знаходження ядра оператора необхідно вирішити|рішати| рівняння :

Таким чином,, а значить . Відома формула . Звідси .

1. Знайдіть власні значення і власні вектори матриці

.

Рішення|розв'язання|:

Складемо характеристичне рівняння матриці :

.

Значить, – власні значення матриці .

Власні вектори знайдемо з|із| рівняння .

При

Власні вектори, відповідні, мають вигляд|вид|

.

При

Власні вектори, відповідні мають вигляд|вид|

, .

2. З'ясуєте, чи можна привести матрицю оператора до діагонального вигляду|виду|шляхом переходу до нового базису.У разі|в разі|позитивної відповіді знайдіть цей базис і відповідний вид матриці.

.

Рішення|розв'язання|:

Знайдемо власні значення матриці, а так само їх алгебра кратності:

Тепер знайдемо геометричну кратність власних значень, тобто кількість відповідних їм власних векторів.

При

Хай|нехай|, – лінійно незалежні власні вектори, відповідні власному значенню . Значить, геометрична кратність цього кореня рівна двом і збігається з|із| його кратністю алгебри.

При

Хай|нехай|, – лінійно незалежні власні вектори, відповідні власному значенню . Значить, геометрична кратність цього кореня рівна двом і також збігається з|із| його кратністю алгебри.

Як видно|показний| з|із| приведеного рішення|розв'язання|, геометрична кратність всіх власних значень збігається з|із| їх кратністю алгебри. Тому матрицю оператора можна привести до діагонального вигляду|виду|. У базисі, складеному власних векторів матриця оператора набере вигляду:

.

3. Лінійний оператор арифметичного простору|простір-час|в стандартному базисі { } заданий матрицею Знайдітьпростори|простір-час|, інваріантні відносно .

Рішення|розв'язання|:

Знайдемо власні значення:

.

Над полем дійсних чисел існує єдине власне значення . Знайдемо власні вектори, відповідні знайденому власному значенню:

Хай|нехай|– власний вектор, тоді – інваріантнийпідпростір|простір-час|, відповідний дійсному власному значенню .

6. h