Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте задачу Коші для звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку.

2. Дайте геометричну інтерпретацію розв’язку задачі Коші. Запишіть формули методу Ейлера.

3. Як отримано формули методу Ейлера?

4. В чому полягають достоїнства й недоліки методу Ейлера?

5. Як визначається похибка методу Ейлера?

8.3. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності

Нехай дано диференціальне рівняння з початковою умовою. Виберемо крок, позначившиі,. Розглянемо числа:

;

;

;

Тоді значення шуканої функції визначається за формулою

,

де ;.

Похибка цього методу – величина порядку .

На рисунку 4 приведена блок-схема програми наближеного розв’язання задачі Коші для диференціальних рівнянь першого порядку методом Рунге-Кутта четвертого порядку точності.

В даній блок-схемі: x₀ – лівий кінець інтервалу; x_n – правий кінець інтервалу; n – кількість відрізків розбиття; y₀ – початкова умова; h – шаг сітки; y_i – значення шуканої функції; f(x_i;y_i) – значення правої частини диференціального рівняння y'=f(x,y) в точці (x_i;y_i); k₁ⁱ, k₂ⁱ, k₃ⁱ, k₄ⁱ – допоміжні числа.

Приклад. Розв’яжемо методом Рунге-Кутта задачу Коші: ;;на інтервалі (0;0,4).

Розв’язок. Покажемо початок процесу.

Для обчислюємо послідовно

,

,

,

.

Звідси .

Отже .

Аналогічно обчислюються подальші наближення.

Отримані значення занесені в таблицю

	0	0,1	0,2	0,3	0,4
	1	1,1103	1,2427	1,3996	1,5836
	1	1,1103	1,2428	1,3997	1,5836

Питання для самоперевірки

1. В чому полягають достоїнства й недоліки методу Рунге-Кутта? Який порядок похибки методу?

2. Як розв’язується методом Рунге-Кутта задача Коші для рівняння більш високого порядку?

Завдання до лабораторної роботи № 3

Розв’яжіть рівняння методом Ейлера

Шифр по вертикалі
0	1						0
1	0,4						1
2	-0,3						2
3	2						3
4	0,3						4
5	1						5
6	-1						6
7	0,3						7
8	2						8
9	-1						9

шифр по горизонталі

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Номер правої частини	2	4	5	8	1	3	9	0	7	6
	1	-2	1	-2	2	2	-1	1,05	-2	0.5
	0,2	0,2	0,1	0,2	0,1	0,2	0,05	0,1	0,4	0,2
Інтервал	[0;2]	[0;2]	[1;2]	[1;3]	[0;1]	[1;3]	[1;1,5]	[0;1]	[0;4]	[1;3]