Точки поділу

.

Відповідні значення підінтегральної функції

Тоді

Тепер обчислимо той же інтеграл, розбивши інтервал інтегрування на 12 частин.

.

Тоді

За формулою (1) знаходимо

З формули (3) випливає, що похибка цього результату . Насправді це не так. Тут має місце випадок, коли похибка методу, обумовлена формулою (3), менше обчислювальної похибки, що має місце за рахунок округлення. Оскільки ми виконуємо обчислення, округляючи результати до, то похибка обчислень не перевершує

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте постановку задачі чисельного інтегрування.

2. Дайте визначення квадратурної формули.

3. Який вигляд має квадратурна формула Сімпсона?

4. Який порядок похибки формули Сімпсона щодо кроку інтегрування ? Наведіть формулу залишкового члена.

5. В чому полягає правило Рунге практичної оцінки похибки?

6. В чому суть уточненого за Річардсоном розв’язку? Дайте геометричну інтерпретацію методу.

Завдання до лабораторної роботи № 2

У даній лабораторній роботі треба за допомогою квадратурної формули Сімпсона обчислити визначений інтеграл і, використовуючи правило Рунге, оцінити похибку отриманого результату. Крок інтегрування вибрати таким, щоб похибка обчислення інтеграла не перевершувала.

Варіанти завдань

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

Розділ 4. Наближене розв’язання задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь

4.1. Метод Ейлера

Розглянемо диференціальне рівняння

зпочатковою умовою. Вибравши досить малий крок, побудуємо систему рівновіддалених точок.

Наближені значення обчислюються послідовно за формулами:

.

При цьому шукана інтегральна крива , що проходить через точкузамінюється ламаноюз вершинами,. Кожна ланка цієї ламаної (ламаної Ейлера) має напрямок, що збігається з напрямком тієї інтегральної кривої вихідного рівняння, що проходить через точку.

Похибка методу – величина порядку .

На рисунку 3 приведена блок-схема програми наближеного розв’язання задачі Коші для диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера.

В даній блок-схемі: x₀ – лівий кінець інтервалу; x_n – правий кінець інтервалу; n – кількість відрізків розбиття; y₀ – початкове умова; h – шаг сітки; y_i – значення шуканої функції; f(x_i;y_i) – значення правої частини диференціального рівняння y'=f(x,y) в точці (x_i;y_i).

Приклад. Знайти розв’язок диференціального рівняння методом Ейлера на відрізку при, якщопри початковій умові.

Розв’язок. Знаходимо значення аргументу: ;;;;і відповідні їм значення:

;

;

;

.

Одержимо таблицю наближених значень шуканої функції

	0	0,1	0,2	0,3	0,4
	1	1,1	1,22	1,36	1,52
	1	1,1103	1,2428	1,3997	1,5836