3. ОсноаиІ операції над нечіткими множинами

Над нечіткими множинами може бути визначено досить багато оізноманітних

сформулювати так:

Дано (нечітке) продукЩйне правило "Якщо Л, mo в".СпостерІгається A' (А в певній мірі). Яким повинно бути в?

Формальніше, задані носії U і V та Tx нечіткі підмножини А і В. Заданоабо елемент"«Цабо множина*'^{c и}-Потрібно визначити елемент v є У,що являє собою висновок системи, який визначає результат застосуваннянечІткого продукцІйного правила.

Приклод 11.2. Дане нечітке продукцІйне правило:

Якщо студент багато працює e бібліотеці, він отримає високу оцінку.

Як множину U ми розглядаємо множину чисел, що визначають кількість годин на тиждень, якІ студентможе проводити в бібліотеці. Можна взяти U якдіапазон чисел від о до 30. Для простоти обмежимося невеликою кількістю можливих значень: ^= (0, 3, б, 9, 12,18,21, 27).

Аналогічно, якщо оцінки (рейтинги) виставляються за 100-бальною шкалою, за V можна взяти діапазон чисел від 59 до 100. Знову ж таки, обмежимося невеликим набором можливих значень: V- (59, 72, 84, 91, 96,100}.

Задамо функцЇЇ належності для нечітких множин A ("6aaamo працює e бібліотеці") та В ("високийрейтингрейтинг") таким чином:

A ={(3,0); (б, 0.1); (9, 0.4); (12,0.6); (18, 0.8); (21,1); (27,1));

В = {(59, 0); (72, 0.2); (84,0.4); (91, 0.7); (96, 0.9); (100,1)}.

Нехай явним чином задана кількість годин, якІ студент працює в бібліотеці, або ступінь належності, що визначає, чи багато він працює в бібліотеці (це практично еквівалентно, оскільки, знаючи конкретну кількість годин, ми завжди можемо визначити відповідний ступінь належності). Нехай цей ступінь належності дорівнює а. Тоді для отримання висновку можна застосувати метод простої підстановки нечіткого значення, вІдповіднодо якого v вибирається з умови:

p,(H)-e.

Нехай у нашому прикладі дано, що студент працює e бібліотеці 9 годин. Ступінь належності дорівнює 0.4, f система повинна дІйти висновку, що такий студент повинен отримати оцінку 84 ("добре"). Якби в нашій спрощеній множині V не виявилося значення точно з таким ступенем належності, слІд було б провести інтерполяцію або взяти найближче значення.

.5. МетодцентрутяжіннякомпозицГі максимум-міпімум Як повинно змінитися нечітке логічне виведення, якщо A' задасться не як конкретне значення, а як нечітка множина (наприклад, якщо у вищенаведеному прикладі відомо, що студент проводить в бібліотеці середню кількість часу)! Для цього необхідно залучити до розгляду відношення нечІткоїІмплІнації.

Нечітким відношенням між: множинами А та В називається нечітка t I підмножина їх декартового добутку. Інакше кажучи, якщо * ^и ((«»P4 M), u, є u). в = ((v,, Pi (vj), v, e v\, _то відношення ARB визначається як множина пар

4М^т {((u,, v,):pg (u,, v,)), u, є U, v, c V).

Відношення нечіткої імплікації А —> В можна вводити по-різному. Часто

використовується формула тІп-імплІкації:

для задання Імплікації застосовуються й Інші формули: нечітке розширення

класичної Імплікації:

I R&("..V,) = nMxte,<v,), І-Ц,(И,Ж

n23(4,x,)-"<ta (^ '~i*,(",)+p,(v,)). _rj нечітка Імплікація Лукасевича:

\ Тепер ми можемо отримати множину B' — нечітку множину висновків, які відповідають множині A'. Ця множина є результатом композиціїтах-тІп множини A' \ нечіткої імплікації: r-A'*(A^B),

де • — знак max-mln композицІЇ, що обчислюється за формулою Алеотримати M*,>*w* ™^и»*(«,Хи**(“.. *,)* _{одну лише} множину B' недостатньо, треба ще знайти конкретну числову відповідь (кажуть, що треба провести дефадзифІ-кацІю). Найчастіше за числову відповідь береться центр тяжіння знайденоі

_v.Xy^(M

нечИхоїмножини, Z#>&V) якийобчислюєтьсязаформулою:

Увесь описаний метод нечіткого логічного виведення часто називають методом центру тяжіння композиції мансимум-мінІмум.

Повернемося до прикладу 11.2.

Ми задали функції належності для нечітких множин А ("багато працює e бібліотеці") та В ("високий рейтинг") таким чином:

А = {(3,0); (6,0.1); (9,0.4); (12,0.6); (18,0.8); (21,1); (27,1));

В = {(59, 0); (72,0.2); (84, 0.4); (91, 0.7); (96, 0.9); (100,1)). Нехай дано, що студент працює в бібліотеці середню кількість часу. Задамо нечітку множину A' (середня кількість часу):

Знайдемо тах-тІпч<омпозицію множини A' та щоЙно знайденого відношення А > В. Результатом буде нечітка множина B':

A'={(3,0); (6,0.2); (9, 0.7); (12,1); (18, 0.6); (21,0.2); (27,0)). Обчислимо вЩношення тІгймпткяттП нечітких множин А тя /?•

j- .яиАікаиіЮ отриманої множини B':

Нарешті. W-***ftSEae♦ М * °-^{6 + 100}' °-⁶>/ (°-^{2 + ОЛ + 0 6 +}

*--^*W;"*,,4.9t75 . 92.

+ 0.6 + 0.6) = 220.2/ ■ _Q0gneHoro розрахунку із застосуванням нечіткого Опке, на основі "^р _{жна ді}йти висновку, що студент повинен

.позиційного правила виведенн

шмати оцінку 92 бали

..2. Приклади інтелектуальних задач

Розглянемо і проаналізуємо в загальнихрисах деякіпроблеми, які доводиться постійно вирішувати людському розуму: розпізнавання образів, мислення та обчислювальні задачі.

На інтуїтивному рівні можна сформулювати ^лька^тдо здшо а вдан fe P озп із н а в а н н я образів (або просто розпізнавання); .

• завдання ІдентифІкацІї полягае в тому, що об'єкт, який спостерігається людиноюГ потрібно вирізнити з-поміж інших (наприклад побачивши іншу людину, впІзнати у ній своюдружину);

•_проблема розпізнавання § класичній постановці: визначити належність об'єкта, що спостерігається, до одного із заздалегідь відомих класів об^єктів (наприклад відрізнитилегковий автомобіль від вантажного).

Людина класифікує просто. Наприклад чоловік, повернувшись додому з роботи, відразу ж впізнає свою дружину, але більшість людей не зможе пояснити, як він це робить, у повному обсязі. Як правило, раціонального пояснення немає. *Теорія розпізнавання, яка інтенсивно розвивається, необхідна для того, щоб навчити штучні інтедектуальні_системи розв'язувати завдання розпізнавання на основі досвіду розтзнавання людиною. Зокрема, сформульовано такий ключовий принцип: будь-який

1