If умова then rec;

end;

Рекурсія другого виду:

procedure Rec;

begin

If умова then rec;

S;

end;

Ці форми можна також комбінувати. Взагалі, потреба в використанні тій чи іншій формі рекурсії виникає, коли треба обробляти складні структури даних. При вивченні цих структур ми ще не раз будемо вертатися до поняття рекурсії. А зараз, розглянувши вже відому задачу про знаходження факторіалу, розглянемо ці дві форми [8]/

Прикладвикористання рекурсії на спускі:

function Fact_dn(Mult: Longint; I, m: Integer): Longint;

Begin

Mult :=Mult*I; {Накопичення факторіалу стоїть до оператора рекурсивного виклика.Тобто обчислення виконується при спуску.}

if I = m then Fact_Dn := Mult

else Fact_Dn := Fact_Dn ( Mult, I+1, m )

end;

Прикладвикористання рекурсії на підйомі:

function Fact _Up( I := integer) : Longint ;

Var

Mult : Longint;

Begin

if I := 1 then Mult := 1

else Mult := Fact_Up ( I-1 ) ;

Fact_Up := Mult*I {Накопичення факторіалу стоїть після оператора рекурсивного виклику. Тобто обчислення виконується при вертанні.}

end;

Класичною задачею на використання рекурсії є задача про Ханойську вежу[5]:

На дошці є три голки: 1, 2, 3. На голці 1 розміщується башта з n дисків; нижній диск має самий великий діаметр, а діаметр кожного наступного менше попереднього. Зо один хід з будь-якої голки можна взяти верхній диск та перемістити на іншу, але дозволено класти диск лише на дошку або на диск більшого діаметра. Треба перемістити всю башту з голки 1 на голку 3.

Ця гра називається “Ханойські вежі”, тому що за легендою цю гру з n=64 дисками почали більш ніж 1000 років тому назад монахи в одному монастирі близько Ханою у В’єтнамі. Коли вони закінчать цю гру, настане кінець світу.

Розв’язком цієї гри-задачі є послідовність переносів дисків. Треба скласти програму, яка виводить на екран позначення цих переносів.

Для переносу башти з n дисків з голки 1 на голку 3 треба перенести башту з n-1 дисків на голку 2, даліперенести нижній диск на голку 3 та перенести башту з голки 2 на голку 3.

program Hantow;

Var n:integer;

procedure disk(f,t:integer);

begin

writeln(f, ‘->’, t);

end;

procedure tow(h:integer; f,t,v:integer);

begin

if h=1 then disk(f,t)

else

begin

tow(h-1,f,v,t);

disk(f,t);

tow(h-1,v,t,f);

end

end;

begin

readln(n);

tow(n,1,3,2);

end.

Глибина рекурсії дорівнює значенню n. Нехай n=3. Хід виконання програми див. на рис. 3.1.

Для перенесення трьох дисків з голки a на голку bтреба виконати 7 переміщень дисків за допомогою голки с. Таким чином, для перенесення n дисків треба виконати 2ⁿ–1 переміщень. За легендою треба перемістити n=64 диски. це 1,844674407371e+19 –1 переміщень. Якщо припустити, що кожну секунду монахи переносять один диск, то для перенесення такої башти треби коло 10¹⁵ років. Навіть якщо комп’ютер зможе кожну секунду виводити на екран 100 000 позначень перенесень, то знадобиться 10¹⁰ років. Так що ще дуже далеко до кінця світу.

Існує також подвійна рекурсія. Прикладом є функція Акермана:

Висока рекурсивність цієї функції використовується для перевірки властивості компіляторів або обчислювальних машин виконувати рекурсію. Ця функція, що була названа на честь У. Акермана, є прикладом функції, що є взагалі рекурсивною, а не примітивно рекурсивною. Тому її значення дуже швидко зростає з зростанням m.

Нехай m=4,n=2.

Тоді процес виклику функції Акермана виглядає таким чином (див рис. 3.2.).

Виходячи з приведено шляху рекурсивного виклику функції Акермана отримаємо наступну таблицю:

А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	
2	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	
3	5	13	21	29	37	45	53	61	69	77	85	93	101	109	
4	13	

При зворотному шляху функції маємо таке:

A(0,1)= 1+1=2;

A(1,0)= A(0,1) =2;

A(1,1)= A(0, A(1,0))= A(0,2) =3;

A(2,0)= A(1,1)=3;

A(2,1)= A(1,A(2,0))=A(1,3)=A(0,A(1,2))=A(0,A(0,A(1,1)))=A(0,A(0,3))=A(0,4)=5;

…

Зауважимо, що А(4,1)=А(3,13) .