Индивидуальные задания
1. Используя методы доказательства:
1) Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа n+m — число четное.
2) Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число n — четное.
3) Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите каждое из высказываний методом математической индукции.
1) 1 + 5 + 9 +…+(4n - 3) = n(2n1) для всех натуральных чисел n.
2) 12+22+…+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 для всех натуральных чисел n.
3)
для
всех натуральных чисел n.
4) Число n3 n делится на 3 при всех натуральных значениях числа n.
5) 1*1! + 2* 2!+…+-n*n! = (n + 1)! 1 для всех натуральных чисел n.
(Символ n! читается как «n факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n! = l*2*3*** (nl)*n.)
Дополнительные задания:
1. Найдите ошибку в следующем «доказательстве» того, что все лошади одной масти.
Будем доказывать индукцией по n следующее утверждение: «В любом табуне из n это лошадей, все они одной масти». База (n = 1) очевидна: в этом случае все лошади - одна лошадь, она очевидно одной масти. Ш : пусть в любом табуне из k лошадей все лошади имеют одну масть. Рассмотрим табун из k + 1 лошади. Выберем в нём двух лошадей a и b и рассмотрим оставшиеся k – 1 лошадь. Составим табун из этих оставшихся лошадей, добавив к ним a. В нём k лошадей, поэтому, по предположению индукции, все они одной масти. Значит, лошадь a имеет ту же масть, что и оставшиеся лошади. Аналогично доказывается, что ту же масть имеет лошадь b. Значит, все k + 1 лошадь имеют одинаковую масть. Утверждение доказано.
2. На бесконечном клетчатом листе бумаги 100 клеток закрашены в чёрный цвет, а все остальные — в белый. За один ход разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые четыре клетки, образующие квадрат 2x2. Докажите, что за несколько ходов можно добиться того, что все клетки окажутся белыми тогда и только тогда, когда любая горизонталь и любая вертикаль содержит чётное число чёрных клеток.