• Електричне поле рівномірно зарядженої нескінченної площини*

Площину можна вважати нескінченною, якщо відстань від точки, в якій визначають напруженість електростатичного поля, до площини можна нехтувати порівняно з геометричними розмірами площини. Обчислимо напруженість електростатичного поля, створюваного рівномірно зарядженою нескінченною площиною, з поверхневою густиною заряду в будь якій точці поза нею.

Нехай у точці (Мал.3.2.5) напруженість поля . Внаслідок симетрії поля лінії напруженості напрямлені перпендикулярно до площини. Для обчислення з застосуванням теореми Остроградського-Гаусса в електричному полі завжди обирають замкнену поверхню так, щоб задача розв’язувалась найбільш просто. На мал.3.2.5. раціонально обрати замкнену поверхню у вигляді прямого циліндра, симетрично розміщеного відносно зарядженої площини, твірні якого перпендикулярні до неї. Обрана циліндрична поверхня охоплює заряд, розміщений на поверхні , що дорівнює . Потік вектора через бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, оскільки лінії напруженості паралельні твірним і не пересікають бічної поверхні. Через основи циліндра потік дорівнює . За теоремою Остроградського-Гаусса , тобто . Звідси .

Незалежність від відстані до зарядженої площини свідчить про те, що поле нескінченної рівномірно зарядженої площини в усьому просторі поза нею однорідне.

• Електричне поле між двома різнойменно зарядженими паралельними нескінченними площинами*

Вважатимемо, що поверхні густини зарядів площин однакові, тобто . За принципом суперпозиції можна стверджувати, що в областях за межами площин поля немає (у кожній точці простору за межами площин значення від обох заряджених площин однакові за величиною і протилежні за знаком), а в області між площинами напрями від обох заряджених площин збігаються (мал.3.2.6) і, отже, .

• Електричне поле біля поверхні зарядженого провідника*

Всередині провідника електричного поля немає, тобто . Виділимо на поверхні зарядженого провідника нескінченно малий елемент поверхні таких розмірів, в межах якого можна вважати поверхневу густину заряду сталою, а елемент – плоским. Оберемо замкнену поверхню у вигляді прямого циліндра, твірні якого перпендикулярні до елемента поверхні провідника (рис. 3.2.7). Силові лінії напруженості зарядженого провідника завжди перпендикулярні до його поверхні і напрямлені від поверхні у випадку позитивного заряду на провіднику. Приймемо, що . Потік вектора через поверхню обраного прямого циліндра зсередини назовні визначатиметься лише потоком через основу циліндра , яка знаходиться над поверхнею провідника, тобто , а .

• Електричне поле рівномірно зарядженої нескінченної циліндричної поверхні*

Нехай нескінченно довга циліндрична поверхня радіуса являє собою провідник, рівномірно заряджений так, що на його бічній поверхні лінійна густина заряду . Для визначення напруженості поля за межами зарядженої циліндричної поверхні оберемо допоміжну замкнену циліндричну поверхню, коаксіальну з заданою (рис. 3.2.8) висотою і радіуса (радіус циліндричної поверхні беруть таким, щоб допоміжна поверхня проходила через точку, в якій визначають ). Повний потік вектора через охоплюючу поверхню визначається його потоком через бічну поверхню, оскільки лінії напруженості перпендикулярні до поверхні зарядженого провідника, тобто

.

За теоремою Остроградського-Гаусса . Тоді .

Всередині зарядженої поверхні () поля немає, оскільки довільна допоміжна замкнена поверхня, проведена всередині зарядженої циліндричної поверхні радіуса з об’ємною густиною заряду , то:

а) напруженість електричного поля всередині зарядженого циліндра () визначають прирівнюванням потоків , знайдених за означенням та за теоремою Остроградського-Гаусса . Тоді , де – електрична константа матеріалу циліндра;

б) аналогічно напруженість за межами циліндра () у випадку вакууму () , .

Напруженість змінюється обернено пропорційно відстані до точки спостереження.

• Електричне поле рівномірно зарядженої кулі*

Рівномірно заряджена по поверхні або об’єму куля радіуса створює у зовнішньому просторі () таке саме поле, як і поле точкового заряду, розміщеного в центрі кулі. Напруженість цього поля . У випадку об’ємного розподілу заряду з густиною повний заряд дорівнює , якщо заряд поверхневий (провідна куля), то . Напруженість поля всередині кулі () у випадку діелектричної кулі , у випадку провідної кулі .

• Робота сил електричного поля. Потенціал

Розглянемо пробний точковий електричний заряд в електричному полі заряду із напруженістю , на який у цьому полі діє сила . Ця сила є центральною, а поле центральних сил консервативне. Отже, при переміщенні заряду в полі ця сила виконуватиме роботу, причому величина роботи по переміщенню заряду в електростатичному полі залежить лише від його початкового та кінцевого положення і не залежатиме від траєкторії руху.

Розглянемо роботу з переміщення пробного заряду в електростатичному полі заряду з точки, яка виражається радіус-вектором у точку з (+). Оберемо вектор переміщення таким чином, щоб він співпадав із силовою лінією електричного поля. З курсу механіки відомо, що робота дорівнює скалярному добутку сили, що діє на заряд, на його переміщення:

(3.2.12)

У даному випадку ситуація спрощується, оскільки косинус кута поміж векторами напруженості (дотичного до силової лінії) та переміщення дорівнює одиниці, то:

(3.2.12а)

Якщо треба визначити роботу з переміщення заряду на довшому шляху (від певної точки до іншої точки , причому відстань поміж цими точками (-) не є нескінченно малою, то роботу можна шукати як інтеграл:

(3.2.13)

З врахуванням маємо:

(3.2.13а)

Результат інтегрування має наступний вигляд:

(3.2.13б)

Роботу сил консервативного поля можна представити як зменшення потенційної енергії:

(3.2.14)

Звідси отримуємо вираз для потенційної енергії заряду у полі заряду :

(3.2.15)

Значення константи у виразі потенційної енергії (3.2.15) обирають таким чином, аби при віддаленні заряду не нескінченність (при ) потенційна енергія оберталася в нуль, тоді:

(3.2.15а)

Але ми користуємося саме пробним зарядом , отже ми можемо досліджувати за допомогою нього поле заряду у будь-якій точці простору.

Але відношення до величини пробного заряду не залежатиме від величини пробного заряду, тобто буде характеризувати лише поле джерела в даній точці простору:

(3.2.16)

величина називається потенціалом поля в даній точці і використовується, як і напруженість електричного поля , для опису електричних полів, а - потенційна енергія електричного поля у точці з радіус-вектором .

Потенціал електричного поля вимірюється у (на честь італійського фізика Алессандро Вольти).

Потенціал електричного поля є скалярною характеристикою поля (на відміну від напруженості, яка є вектором). Він є енергетичною характеристикою поля, яку можна визначити як потенційну енергію одиниці заряду в певній точці поля. Отже, потенціал (надалі позначатиме його просто ) електричного поля точкового заряду у точці дорівнюватиме:

(3.2.17)

Вочевидь, що для системи зарядів справедливим є твердження, що робота, яку виконують сили поля, створеного системою точкових зарядів, над пробним зарядом буде дорівнювати алгебраїчної сумі робіт, виконуваних кожним окремим зарядом:

(3.2.18)

В такому випадку потенційна енергія пробного заряду в полі системи зарядів та потенціал матимуть вигляд:

	(3.2.19)
	(3.2.20)

Бачимо, що потенціали додаються алгебраїчно, на відміну від напруженості поля, яка при накладанні полів додається векторно. От за цих причин визначення потенціалів набагато простіше за визначення напруженості. Або для роботи:

(3.2.21)

Тобто, робота, виконувана силами поля над зарядом дорівнює добутку величини заряду на різницю потенціалів у початковій та кінцевій точках (тобто на величину зменшення потенційної енергії поля).

Можна просто позначити величину скалярного добутку через :

(3.2.22)

Але тоді постає питання щодо появи знаку „мінус”, яке можливо вирішити тільки пізніше, тобто просто дати йому якесь пояснення. Тоді елементарну роботу матиме вигляд:

(3.2.23)

За фізичним змістом величина є роботою по переміщенню заряду в електричному полі, розрахована на одиничний пробний заряд:

(3.2.24)

Величина має назву „різниця потенціалів поміж точками та +”. Отже:

(3.2.25)

У свою чергу - є потенціалом електричного поля початкової точки , а - потенціал поля в кінцевій точці (+). Повну роботу з переміщення заряду знайдемо інтегруванням:

(3.2.26)

Отже, робота сил електростатичного поля залежить лише від різниці потенціалів у цих точках та величини пробного заряду. Цей факт є доказом потенційності електростатичного силового поля та консервативності електростатичних сил.

Якщо об’єднати всі точки електричного поля, які мають однаковий потенціал, то така поверхня має назву еквіпотенційної поверхні, або поверхні рівного потенціалу. Переміщення заряду вздовж такої поверхні не потребує роботи, оскільки всі точки поверхні мають однаковий потенціал і різниця потенціалів між точками поверхні дорівнює нулю. Робота буде ненульовою лише при переміщенні заряду з однієї такої поверхні на іншу поверхню (з іншим потенціалом).