§4 Функциональная интерпретация

Пропозициональные переменные истолковываются, как переменные для чисел 0 и 1 (то есть каждая из переменных может принимать только эти два значения). Сложные формулы (формулы, отличные от пропозициональных переменных) интерпретируются следующим образом. Каждая связка понимается как функция, которая значениям аргументов (аргумента) — нулю или единице — ставит в соответствие значение функции (которое тоже может быть только либо нулем, либо единицей). Значения связок строятся на основе табличных определений (Табл. 2, 3, 4).

Таблица 2			Таблица 3				Таблица 4
					(&)				()
0	1		0	0	0		0	0	0
1	0		0	1	0		0	1	1
			1	0	0		1	0	1
			1	1	1		1	1	1

§5 Техническая интерпретация (на контактных схемах)

Одним из видов электрических схем, рассматриваемых в теории электрических цепей и автоматических устройств, являются схемы, состоящие из контактов выключателей, соединенных проводниками. Контакты могут быть двух типов — замыкающими и размыкающими. Замыкающий контакт в нерабочем состоянии размыкает электрическую цепь, а в рабочем состоянии — замыкает; размыкающий контакт в нерабочем состоянии замыкает цепь, а в рабочем — размыкает (Рис.2).

Рис.2 Схематическое изображение замыкающего (a) и размыкающего (b) контактов.

Таким образом, с электрической точки зрения каждый контакт может быть в двух состояниях — проводимости и непроводимости.

Срабатывание контактов (т.е. переход в рабочее состояние) зависит от внешнего воздействия на выключатель (реле), который им управляет. Очевидно, что прохождение тока по схеме, состоящей из контактов, соединенных проводниками, зависит от их состояния, которое, в свою очередь, определяется воздействиями на управляющие ими выключатели.

Будем истолковывать пропозициональные переменные как замыкающие контакты, управляемые соответствующими выключателями. Под отрицанием переменной будем понимать размыкающийся контакт, управляемый тем же выключателем, который "заведует" отрицаемой переменной. Очевидно, что если A и A — замыкающий и размыкающий контакты, управляемые одним и тем же выключателем, то имеем следующее: если один из них находится в состоянии проводимости, то другой — в состоянии непроводимости, и наоборот.

Истолкуем конъюнкцию как последовательное, а дизъюнкцию — как параллельное соединение контактов (Рис.3).

Рис.3 Схема последовательного и параллельного соединения двух контактов; схема a соответствует формуле (A_i&A_j), а схема b — формуле (A_iA_j); i, j = 1, 2, 3, ... .

Это вполне естественно, так как при последовательном соединении контактов ток по цепи проходит лишь тогда, когда оба контакта находятся в состоянии проводимости, а при параллельном соединении для прохождения тока по цепи достаточно проводимости хотя бы одного из контактов.

Теперь мы можем указать, что следует понимать под значением формулы — это либо проводимость, либо непроводимость соответствующей схемы, и определять ее значение для любого распределения значений, входящих в нее пропозициональных переменных, пользуясь таблицами истинности (Табл. 2—4.). При этом формулам, тождественно равным единице, соответствуют всегда проводящие, а формулам, тождественно равным нулю, — никогда не проводящие схемы.

В силу данной интерпретации к исследованию контактных схем прикладным оказывается весь аппарат теории булевой алгебры. Становится возможным записывать схемы в виде аналитических выражений (формул), по схемам определять соответствующие им формулы, упрощать схемы и т.п. Упрощение контактных схем, особенно решение задач их минимизации, то есть нахождения по данной схеме самой простой (содержащей наименьшее число контактов) функционально одинаковой с ней схемы, является весьма важным для автоматики.