Маленький двоично-десятичный словарик.
|
Двоичное число |
Десятичное число | |||
|
23 |
22 |
21 |
20 | |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
3 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
5 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
6 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
7 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
8 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
9 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
10 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
11 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
12 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
13 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
14 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
К сожалению, понадобилось почти что столетие, для того, чтобы алгебра Буля нашла практическое воплощение. Только в 1938 году американский ученый Клод Шеннон смог применить алгебру Буля в создании релейных схем.
§3 Основы Булевой алгебры
3.1 Алфавит. Вводятся в рассмотрение знаки пяти видов: пропозициональные переменные, константы, логические связки (знаки логических операций), знак отношения и скобки.
a) Пропозициональные переменные: A1, A2, A3, ...; число пропозициональных переменных не ограничено.
б) Константы: 0, 1.
в) Логические
связки:
,
&,
(эти знаки
носят названия соответственно отрицания,
конъюнкции и дизъюнкции).
г) Знак отношения: = (знак равенства).
д) Скобки: (, ) (левая и правая).
Других знаков алфавит не содержит.
Исчисление строится так, что не всякая конечная последовательность знаков его алфавита является формулой. Формулы — это такие последовательности знаков алфавита, которые удовлетворяют следующему определению [8].
3.2 Формулы
(а) Каждая пропозициональная переменная есть формула.
(б) Константы 0 и 1 суть формулы.
(в)
Если
— формула, то
— тоже формула; если
и
— формулы, то (
&
)
и (
)
также являются формулами.
В этом определении
в пункте (в) буквы 
и 
,
не принадлежащие нашему алфавиту,
означают произвольные конечные
последовательности знаков алфавита.
Их еще называют метазнаками
(Метазнак
— от греч.
— за, после, — знак,
обозначающий знак или конструкцию
данного алфавита и не принадлежащий к
этому алфавиту.), которые в данном случае
обозначают произвольные формулы.
Данное выше определение формул называется индуктивным (от лат. inductio — выведение, — способ исследования, изложения, при помощи которого от наблюдения частных фактов, от экспериментальных данных переходят к установлению общих положений, принципов и законов.). Индуктивные определения широко распространены в современной математике, логике, основаниях математики. Они позволяют вполне точно устанавливать, подпадает ли любой данный объект некоторой области под определяемое понятие.
3.3 Равенства
Если 
и 
— формулы, то 
=
— равенство.
Ничто иное равенством не является.
Условимся о
сокращении: вместо двух равенств 
=
и 
=
разрешается писать просто 
=
=
("цепочка равенств"). Аналогично
будут пониматься и более длинные цепочки.
Так, запись 
=
=
=
имеет смысл 
=
,
=
,
=
.
3.4 Постулаты (лат. Postulatum ― требуемое).
[a]. Некоторые из
«простых» схем аксиом (греч.
― исходное положение).
1. (
&
)=(
&
)
— закон коммутативности для конъюнкции.
2. (
)=(
)
— закон коммутативности для дизъюнкции.
3.
=
— закон снятия двойного отрицания.
4. (
&1)=
— закон отбрасывания единицы.
5. (
0)=
— закон отбрасывания нуля.
6. (
&
)=0
— закон противоречия, выраженный в
форме приравнивания противоречия нулю.
7. (
)=1
— закон исключенного третьего, выраженный
в форме равенства.
Перечисленные примеры из постулатов [9] являются не аксиомами, а схемами аксиом. Это значит, что каждый постулат задает бесконечное множество аксиом определенной структуры.
Схемы аксиом 1 и 2 задают свойство перестановочности членов в конъюнктивных и дизъюнктивных формулах.