3.8. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта

В каждом ли евклидовом пространстве нужно уметь находить и строить ортонормированный базис. Построить ортонормированный базис можно, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, при помощи алгоритма, который называют процессом ортогонализации Грама — Шмидта. Изложим этот алгоритм.

Пусть — некоторый базис вп-мерном евклидовом пространстве . Модифицируя этот базис, мы будем строить новый базис , который будет ортонормированным. Последовательно вычисляем векторы и , и и т.д. по формулам:

(3.9)

Геометрическая иллюстрация этой последовательности вычислений при п = 3 (линейное пространство ) приведена на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Для обоснования алгоритма нужно показать, что ни один из последовательно вычисляемых векторов не является нулевым вектором (иначе процесс оборвался бы преждевременно) и что все векторы , попарноортогональны. Тогда и векторы , образуют ортогональную систему, но при этомнорма каждого из этих векторов равна единице. Ортогональная система из п ненулевых векторов, согласно теореме 3.4, линейно независима и поэтому в п-мерном евклидовом про­странстве является базисом.

Доказательство опирается на метод математической индукции. В соответствии с этим методом мы будем доказывать, что для любого , векторы образуют ортогональную систему и длины их равны единице. Это утверждение очевидно при , так как в этом случае вектор ненулевой, потому что равен вектору единичной длины, а систему векторов, состоящую из одного вектора, считают ортогональной по определению.

Пусть векторы , образуют ортогональную систему. Вычислим новый вектор по формуле

(3.10)

Предположив, что , заключаем, что

т.е. вектор является линейной комбинацией векторов , которые в силу(3.9) выражаются через векторы . Следовательно, этот вектор является линейной комбинацией системы векторов , а система векторов согласно теореме 1.1, линейно зависима. Но это противоречит условию линейной независимости системы .

Итак, предположение о том, что , привело к противоречию и потому неверно. Нам остается убедиться, что вектор ортогонален каждому из векторов . Умножим равенство(3.10) скалярно на вектор , где. Учитывая, что векторы попарно ортогональны при , получим:

так как . Следовательно, векторы , где образуют ортогональную систему векторов и имеют единичную длину.

Итак в конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

В процессе ортогонализации любой вектор можно заменить на коллинеарный ему ненулевой векторЕсли система векторов линейно зависима, то в процессе ортогонализации будем получать (на некоторых шагах) нулевые векторы.

При практических применениях процесс Грама — Шмидта удобно модифицировать так, чтобы ограничиться вычислением векторов и не использовать их нормированные варианты . В этом случае нужно последовательно вычислить векторы а затем провести их нормировку, приводящую к векторам . Чтобы модифицировать алгоритм вычислений, в левой колонке (3.9) заменим векторы на ,согласно формулам в правой колонке. Получим:

Пример 3.14. В линейном пространстве рассмотрим векторы и с длинами , =6 и углом между ними.

Так как векторы ненулевые, а угол между ними не равен 0 или , они не коллинеарны, а потому образуют базис в . Построим при помощи процесса Грама - Шмидта ортонормированный базис. Согласно описанному выше алгоритму находим:

Затем полученные векторы и нормируем:

Векторы и и построенный по ним ортонормированный базис и представлены на рис. 3.5.

Пример 3.14. Даны системы векторов евклидовых пространств:

a) элементы пространства со скалярным произведением

б) - элементы пространствасо скалярным произведением

Провести ортогонализацию данных векторов.

а) Заметим, что система векторов х, у , z линейно зависимая, так как х и у пропорциональны, поэтому используем процесс ортогонапизации Грама - Шмидта с учетом замечаний.

Полагаем . Вычисляем

Получили нулевой вектор.

3. Вычисляем

Проверим условие ортогональности

Для получения ортонормированной системы исключаем нулевой вектор , а остальные нормируем:

Таким образом, для системы трех векторов х, у, z построена ортогональная система из трех векторов и , v, w и ортонормированная система из двух векторов . Линейные оболочки этих трех систем совпадают между собой (и со всем пространством ).

б) Полагаем

Вычисляем

Получили ортогональные многочлены ,,. Выполним нормировку:

Получили ортонормированные многочлены