re / Лекция 7

3.9. Ортогональное дополнение

Как следует из теоремы 2.7, в произвольном линейном пространстве С любое линейное подпространство имеет прямое дополнение, т.е. такое линейное подпространство что Такое линейное подпространство не является единственным. Однако в случае евклидова пространства, среди всех возможных прямых дополнений к данному линейному подпространству одно выделяется.

Определение 3.8. Ортогональным дополнением линейного подпространства в евклидовом пространстве называют множество - всех векторов , ортогональных каждому вектору линейного подпространства .

Пример 3.15. В евклидовом пространстве свободных векторов рассмотрим линейное подпространство векторов, параллельных данной плоскости (см. пример 2.1). Тогда ортогональным дополнением - будет множество векторов, пер­пендикулярных к этой плоскости (рис. 3.6, а), в то время как в качестве прямого дополнения можно взять подпространство векторов, коллинеарных произвольной прямой, пересекающей плоскость в единственной точке, т.е. не параллельной плоскости и не лежащей в этой плоскости (рис. 3.6, б). Отметим, что в данном случае является линейным подпространством в .

б

Теорема 3.6. Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом подпространстве является линейным подпространством в , причем и .

Чтобы доказать, что - является линейным подпространством в , нужно проверить условия 1) и 2) определения 2.1. Взяв два произвольных вектора x и у, принадлежащих , умножим скалярно их сумму на произвольный вектор Получим:

т.е. для любых векторов x и у из множества их сумма принадлежит тому же множеству.

Теперь рассмотрим произведение вектора на произвольное действительное число . Для произвольного вектора

и поэтому если . Следовательно, является линейным подпространством в .

Отметим, что любой вектор x, принадлежащий пересечению , ортогонален самому себе: , так как любой вектор из .- ортогонален любому вектору подпространства .. Но вектор ортогонален самому себе лишь в том случае, когда он нулевой (аксиома г) скалярного умножения). Поэтому , а сумма - рассматриваемых линейных подпространств является прямой (см. теорему 2.3). Докажем, что эта прямая сумма совпадает со всем евклидовым пространством .

Выберем некоторый ортонормированный базис в линейном подпространстве и дополним его до базиса во всем евклидовом пространстве , . Исходя из этого базиса построим при помощи процесса Грама - Шмидта ортонормированный базис в . Так как первые т векторов исходного базиса попарно ортогональны и имеют единичную длину, процесс ортогонализации оставит их без изменения, Т.е. . Векторы ортогональны каждому из векторов базиса линейного подпространства и, следовательно, ортогональны так как . Поэтому все они попадают в ортогональное дополнение .

Рассмотрим произвольный вектор и запишем его разложение по базису е:

Легко увидеть, что есть вектор из , а есть вектор из ., при этом . Следовательно, , и так как вектор x выбирался произвольно, то .

Согласно следствию из теоремы 2.5, из соотношения вытекает следующее равенство для размерностей:

Что и требовалось доказать.

Следствие 3.1. Каково бы ни было линейное подпространство в евклидовом пространстве , любой вектор можно однозначно представить в виде

(3.11)

где .

Действительно, это утверждение означает, что .

Вектор в разложении (3.11) называют ортогональной проекцией вектора х на линейное подпространство , а вектор — ортогональной составляющей вектора х относительно линейного подпространства .

Как построить ортогональное дополнение к данному линейному подпространству? Пусть линейное подпространство определено наиболее распространенным способом — как линейная оболочка некоторой системы векторов . Согласно определению 3.8 ортогонального дополнения, любой вектор должен быть ортогонален каждому из векторов

(3.12)

Наоборот, если вектор х удовлетворяет системе равенств (3.12), т.е. он ортогонален каждому из векторов , то этот вектор ортогонален и любой линейной комбинации системы векторов (см. 3.5). Значит, х ортогонален каждому вектору линейного подпространства и принадлежит линейному подпространству .

Итак, система уравнений (3.12) описывает ортогональное дополнение линейного подпространства . Запишем эту систему в координатах в некотором ортонормированном базисе . Пусть векторы в этом базисе имеют разложения

Координаты произвольного вектора х в том же базисе обозначим , т.е. полагаем, что

Тогда в ортонормированном базисе е

Таким образом, система (3.12), записанная в координатах относительно ортонормированного базиса е, имеет вид

(3.13)

,

т.е. представляет собой однородную систему из т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Строки матрицы А этой системы совпадают с наборами координат векторов . Поэтому матрица А имеет ранг, равный рангу системы векторов , т.е. этот ранг совпадает с размерностью линейного подпространства .

Каждое решение системы (3.13) представляет собой набор координат некоторого вектора из - и наоборот, любой вектор из описывает решение системы (3.13). Поэтому можно сказать, что множество всех решений этой системы есть линейное подпространство . Согласно теореме 3.6, это подпространство имеет размерность Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) описывается при помощи фундаментальной системы решений. Напомним, что столбцы фундаментальной системы решений линейно независимы, а любое решение однородной СЛАУ представляется в виде линейной комбинации столбцов фундаментальной системы решений. Другими словами, фундаментальная система решений — это базис в подпространстве всех решений данной однородной СЛАУ. Каждый столбец фундаментальной системы решений представляет собой координатную запись вектора линейного подпространства в выбранном базисе е евклидова пространства , при этом такие векторы в совокупности образуют базис подпространства . Мы здесь можем не различать фундаментальную систему решений системы (3.13) и соответствующий ей базис ортогонального дополнения .

Пример 3.16. Пусть линейное подпространство представляет собой линейную оболочку системы векторов, заданных координатами в некотором фиксированном ортонормированном базисе е четырехмерного евклидова пространства :

, , , .

Найдем какой-либо базис ортогонального дополнения .

Записываем систему вида (3.13), используя координаты векторов

и находим ее фундаментальную систему решений. Это можно сделать, например, с помощью приведения матрицы системы к ступенчатому виду методом элементарных преобразований. В качестве базисных переменных выберем и Тогда фундаментальная система решений будет содержать два решения, например:

,

Столбцы найденной фундаментальной системы решений представляют собой координаты двух векторов , из , образующих базис линейного подпространства , но этот базис не является ортонормированным. Чтобы получить ортонормированный базис , достаточно применить процесс ортогонализации Грама — Шмидта. Сделав это, находим векторы

и ортонормированный базис в линейном пространстве .