re / Лекция 8

4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

4.1. Определение линейного оператора.

Оператором, действующим в линейном пространстве (или преобразованием линейного пространства) называется правило , по которому каждому элементу х из ставится в соответствие некоторый (единственный) элемент у из .. Элемент у называется образом элемента х при действии оператора , а элемент х — прообразом элемента у. Тот факт, что элемент у соответствует элементу х при действии оператора записывается так:

или (1)

Определение 4.1. Оператор , действующий в линейном пространстве , называется линейным, если для любых элементов и из и любого числа выполняются равенства:

(2)

Примеры линейных операторов.

1) Нуль-оператор ставит в соответствие каждому элементу х из нулевой элемент : .

2) Тождественный или единичный оператор каждому элементу х из сопоставляет этот же элемент: .

3) Оператор подобия с коэффициентом подобия задается равенством .

4) Оператор дифференцирования , действующий в линейном пространстве Р_п многочленов степени, не превосходящей n, каждому многочлену ставит в соответствие его производную : (заметим, что является элементом того же пространства Р_п).

5) Оператор поворота на угол , действующий в пространстве векторов на плоскости, поворачивает каждый вектор на угол , причем поворот происходит против часовой стрелки, если , и по часовой стрелке, если .

4.2. Матрица линейного оператора. Пусть — линейный оператор, действующий в линейном пространстве , и пусть — базис в этом пространстве. Подействуем оператором на базисные элементы и разложим образы базисных элементов по тому же базису:

(3)

Квадратная матрица п-го порядка называется матрицей линейного оператора в базисе . Отметим, что i-й столбец матрицы составлен из коэффициентов разложения элемента по базису . Равенства (3) можно записать в матричной форме:

(3)

где, как обычно, использованы обозначения: — строка, составленная из элементов базиса, — строка из образов базисных элементов, а произведение получается по правилу умножения матриц: - матрица е умножается на - матрицу .

Пусть в базисе элемент х и его образ имеют разложения и

где и — столбцы из координат элементов x и у в данном базисе. Тогда из равенства получаем формулу

(4)

Формула (4) позволяет определить координаты образа у через координаты прообраза х в данном базисе, если известна матрица оператора в этом базисе.

При переходе к новому базису координаты вектора изменяются по формуле , а координаты вектора изменяются по формуле где C — матрица перехода от базиса к базису : , состоящая из столбцов координат вектора в старом базисе е.

Тогда .

И матрица оператора в базисе и матрица того же оператора в базисе связаны соотношением

(5)

Матрицы, связанные между собой соотношениями (5) называют подобными.

Определение. Операторы и , действующие в линейном пространстве , называются равными, если для .

Если операторы и равны, то равны и их матрицы в любом базисе. Обратно: если матрицы операторов и в каком-нибудь базисе равны, то равны и сами операторы. Поэтому если в линейном пространстве фиксирован базис , то между операторами, действующими в этом пространстве, и квадратными матрицами п-го порядка имеет место взаимно однозначное соответствие: каждому оператору соответствует матрица и, обратно, каждой матрице А соответствует (и притом только один) оператор такой, что его матрица в базисе равна матрице А.

4.3. Действия над линейными операторами.

Определение. Суммой линейных операторов и , действующих в линейном пространстве , называется оператор , действие которого на любой элемент х из задается равенством .

Сумма двух линейных операторов является линейным оператором, а матрица суммы линейных операторов (в любом базисе) равна сумме матриц этих операторов.

Определение. Произведением линейного оператора , действующего в линейном пространстве , на число называется оператор , действие которого на любой элемент x из задается равенством

Произведение линейного оператора на число является линейным оператором, а матрица этого оператора (в любом базисе) равна произведению матрицы оператора на число .

Теорема 1. Множество S всех линейных операторов, действующих в линейном пространстве , с введенными операциями сложения операторов и умножения оператора на число образует линейное пространство.

Пространство S линейных операторов, действующих в линейном пространстве изоморфно пространству матриц размерности . Поэтому размерности этих пространств совпадают, т. е. .

Определение. Произведением линейных операторов и , действующих в линейном пространстве , называется оператор , действие которого на любой элемент x из задается равенством

Произведение линейных операторов и является линейным оператором, а матрица С произведения операторов (в любом базисе) равна произведению матриц А и В этих операторов: =.

Определение. Линейный оператор называется обратным к линейному оператору , если выполняются равенства , где — тождественный оператор.

Оператор, обратный к , обозначается символом .

Теорема 2. Для того чтобы существовал обратный оператор к линейному оператору , необходимо и достаточно, чтобы матрица оператора в каком-нибудь базисе была невырожденной (при этом она будет невырожденной в любом другом базисе).

Если — матрица оператора в базисе , то матрица обратного оператора в том же базисе равна , т. е. является обратной по отношению к матрице .