2.2 Дисконтирование и наращение по сложным учетным ставкам

Процесс дисконтирования по сложной учетной ставке (в отличие от простой) происходит с замедлением, так как на каждом шаге во времени учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, а к сумме уменьшенную на величину дисконта, определенного на предыдущем шаге.

P=S (1-d_c)ⁿ (2.9)

где d_c – сложная учетная ставка,

(1-d_c)ⁿ – дисконтный множитель, показывающий какую часть первоначальная сумма составляет в наращенной сумме.

Если дисконтирование производится «m» раз в году применяют номинальную учетную ставку (f)

P=S (1-f/m)^mn (2.10)

или эффективную учетную ставку эквивалентную номинальной при заданном значении «m»

d_c=1-(1-f/m)^m (2.11)

Наращение по сложным процентам учетным ставкам ведется по формулам:

S=P/(1-d_c)ⁿ (2.12)

и

S=P/(1-f/m)^mn (2.13)

полученным в результате решения зависимости (2.9 и 2.10) относительно «S» (сложные антисипативные проценты).

2.3 Непрерывное наращивание и дисконтирование

Для адекватного описания сложных, непрерывных производственных и хозяйственных явлений, для их финансово-экономического анализа применяют непрерывное наращение и дисконтирование. При непрерывном наращении применяются особый вид процентной ставки – сила роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечном малом промежутки времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени. Наращенная сумма определяется:

S = Pe^бп (2.14)

где б – постоянная сила роста которая представляет собой номинальную (j) ставку процентов при m = ∞;

e – основание натурального логарифма или число Эйлера равное – 2.73

Современная величина платежа определяется путем решения уравнения (2.14) относительно «Р»:

Р =Se^_бп (2.15)

2.4 Определение срока платежа и процентных ставок

При разработке финансовых операций возникает необходимость решения обратных задач относительно наращения и дисконтирования – определение продолжительности ссуды, числа периодов наращения, ставки процентов или учетной ставки. Для этого необходимо решить уравнения, связывающие величины S и Р, относительно неизвестных в каждом случае величин.

- при наращении по сложной годовой ставке; (2.16)

- при наращении по номинальной ставке; (2.17)

- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке; (2.18)

- при дисконтировании по номинальной учетной ставке; (2.19)

- при наращении по постоянной ставке непрерывных процентов; (2.20)

Соответственно определяются ставки:

Ic = (S/P)^1/n – 1 (2.21)

j = m ((S/P^1/mn-1)) (2.22)

dc = 1- (P/S^1/n) (2.23)

f = m (1-P/S^1/mn) (2.24)

σ = (2.25)

2.5 Наращение процентов и инфляция

В приведенных выше формулах (2.1; 2.2; 2.3; 2.4) все величины измерялись по номиналу, не принималось во внимание реальная покупательная способность денег, то есть последствия инфляции.

В финансовых расчетах используются два способа учета инфляции:

1) Корректировка первоначальной суммы на индекс инфляции:

J_u = (1 + L)ⁿ (2.26)

где L – прирост инфляции;

С = P (1 + i)ⁿ (1+ L)^-n = P (2.27)

где С – реальная наращенная сумма,

[(1 + i) / (1+ L)]ⁿ – множитель наращения с учетом инфляции.

2) Индексация ставок процентов:

Z = I + L + I + i (2.28)

где Z - брутто-ставка с поправкой на инфляцию.