6. Мода и медиана, моменты случайных величин

Рассмотрим дискретную случайную величину. Пустьтройка последовательных значений, принимаемых с.в.. Обозначим через-наибольшую вероятность по сравнению двумя соседними значениями. Это значение с.в. будем обозначать величиной

Модой дискретной случайной величиныназывается её значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, расположенными с двух сторон, обозначается(сравните с понятиемнаивероятностнее число).

Для непрерывной случайной величины модаобозначает точку локального максимума её функции плотности.

Если мода единственна, то распределение с.в.называетсяунимодальным,в противном случае она называетсяполимодальным.

Рис 23 (Письменный)

Медианой непрерывной случайной величиныназывается такое её значение, для которого выполняется двойное равенство

(23) ,

и обозначается . Другими словами в близи этой точки функция распределения имеет одинаковые вероятности, не зависимо оттого, что окажется с.в.меньшеили больше (см. рис.23). Для д.с.в. понятие медиана не определяется.

Замечание. Равенство (23) можно переписать в виде

(24)

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями более общих понятий так называемых – моментов случайной величины.

Начальным моментом порядка случайной величиныназывается математическое ожиданиеой степени этой величины, обозначается числомТаким образом, по определению

(25) , еслид.с.в.

т.е. для д.с.в. начальный момент выражается суммой, (равенством (25)), а для н.с.в. - интегралом

(26) еслин.с.в.

В частности, .

Пользуясь определением и последними равенствами вычислительной формулы для дисперсии (см. равенство (13)) можно переписать в виде

(26) .

Кроме начальных моментов с.в.целесообразно рассматривать моменты ой степениотклонения.

Абсолютным моментом порядка случайной величиныназывается число

, если д.с.в.,

если н.с.в.

Центральным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величины,обозначаемое числом . То ест по определению

(27) , если д.с.в.

(28) если н.с.в.

В частности,

(29) .

Легко выводятся равенства (проверить самостоятельно):

и т.д.

Отметим, что если с.в. зависимые с.в., то для суммы их дисперсии выполняется равенство

(30) ,

где

(31)

-называется корреляционным моментом (или ковариацией) с.в.

В некоторых книгах принято и другое обозначение

_{Более подробно этот раздел будет рассмотрено несколько позже, т.к. оно звязано с совместными распределениями системой случайных величин (с.м. Т.13. п.8).}

Отметим, что моменты более высоких порядков применяются редька. Среди моментов высших порядков отдельное место занимают центральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.