![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава II
- •2. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •3. Законы распределения дискретной случайной
- •4. Функция распределения случайной величины, функция
- •5. Производящая функция дискретной случайной величины
- •6. Плотность распределения вероятностей
- •Тема 8. Числовые характеристики
- •1. Математическое ожидание случайной величины
- •2. Дисперсия случайной величины
- •3. Среднее квадратичное отклонение
- •4. Среднее квадратичное отклонение суммы
- •5. Одинаково распределённые взаимно
- •6. Мода и медиана, моменты случайных величин
- •7. Асимметрия и эксцесс, квантили
- •8. Производящая функция
- •Тема 9. Основные законы распределения
- •1. Биномиальный закон распределения (Закон Бернулли)
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределения
- •5. Равномерный закон распределения
- •2. .
- •6. Показательный закон распределения
- •7. Функция надёжности, показательный закон надёжности
- •8. Характеристическое свойство показательного
- •9. Нормальный закон распределения
- •Тема 10. Предельные теоремы теории вероятностей
- •1. Неравенство Чебышева и Маркова
- •2. Теорема Чебышева (збч Чебышева)
- •3. Ещё раз о теореме Бернулли
- •4. Центральная предельная теорема
- •0,04, Т.Е..
- •5. Применение цпт
- •6. Примеры на применение нормального закона
0,04, Т.Е..
Следсвиями ЦПТ являются рассмотренные ранее локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласса.
5. Применение цпт
1.Обоснование
роли нормального закона.Предположим,
что проводится измерение какой – либо
физической величины. На результат
измерения влияет огромное число
случайных факторов, таких, как влияние
атмосферных условий, физическое
состояние экспериментатора, неустойчивое
состояние измерительного прибора, и
т.п. Каждый из этих факторов, взятый в
отдельности, порождает незначительную
погрешность
при измерении данной величины. Итоговая
ошибка
будет, следовательно, суммой большого
числа очень маленьких с.в.
;
и закон распределения каждой из этих
величин заранее нам неизвестен. Тем не
менее, можно с уверенностью заключить,
что вся суммарная ошибка
будет иметь закон распределения, близкий
к нормальному закону.
В полном соответствии со сказанным выше при математическом обработке результатов измерений исходят из следующего постулата: случайная ошибка измерения подчиняется нормальному закону распределения. Поэтому, из параметров этого закона один из них, а именно м.о., равен нулю. Второй параметр –среднее квадратичное отклонение, которое характеризует в известном смысле стандартность измерения.
Другой
важный пример, иллюстрирующий роль
нормального распределения в приложениях
теории вероятностей, дает массовое
производство,
существующее во многих отраслях
современных
производственных процессов.
В процессе массового производства
изготовляются большие партии однотипных
изделий. Все наиболее существенные
характеристики выпускаемых изделий
должны естественно соответствовать
определенному стандарту,
в какой бы стране они ни выпускались.
Вот некоторые из них: все размеры одежды,
электрические приборы, запасные части
многих видов автомобилей, приборы
различных видов и назначений, одним
словом, все виды различных предметов
массового потребления и т.д.).
Однако
в реальности
наблюдаются отклонения от стандарта,
которые порождаются причинами случайного
характера (следует учесть, что выпуск
изделий связан, как правило, с большим
числом операций, по
этой причине некоторые
из
них не могут быть выполнены абсолютно
точно). Каждая из этих причин сама по
себе порождает лишь ничтожную ошибку
,
но, складываясь, такие ошибки могут
давать вполне ощутимые отклонения от
стандарта. И здесь, так же как в случае
ошибок измерений, имеются основания
считать, что суммарное отклонение от
стандарта следует нормальному
распределению.Подобных
примеров можно привести очень много
из самых различных областей науки и
техники. Они объясняют, почему нормальный
закон так часто возникает в задачах
прикладного характера.
20.
Связь с приближенной формулой Лапласа.
Пусть
производится
независимых опытов, в каждом из которых
с одной и той же вероятностью
наступает
событие
.
Рассмотрим случайную величину
-
число наступлений события
в
опытах.
Очевидно,
,
где
обозначает число наступлений события
в
-
м
опыте (
).
Случайные величины
имеют один и тот же закон распределения,
так что условия теоремы Ляпунова здесь
налицо. Но тогда должна быть справедлива
интегральной предельной теоремы Лапласа
(28),
которая в данном случае принимает вид:
(29)
(напомним,
что
,
а
,
где
.
Покажем, что из него следует интегральная
приближенная формула Лапласа (формула
(26)
из
п. 11.4.).
Событие
равнозначно
.
Положим,
,
,
так что
,
.
Теперь левая часть формулы (29) запишется:
(30)
правую же часть, учитывая соотношение
(где
- функция Лапласа,
можно
представить как
(31)
.
Приравнивая выражение, стоящее под знаком предела в (30), к выражению (31), получаем приближенное равенство
,
которое есть не что иное, как интегральная приближенная формула Лапласа.
30. Опыт Гальтона. Наглядной иллюстрацией центральной предельной теоремы служит эксперимент, предложенный английским статистиком Ф. Гальтоном (1822-1911).
Для эксперимента берется Доска, в которую в шахматном порядке забиты гвоздики (рис. ?). Доска устанавливается в наклонном положении. Вверху доски имеется воронка, куда можно сыпать шарики (например, ружейную дробь). Расстояние между любыми двумя соседними по горизонтали гвоздиками одно и то же. Это расстояние несколько больше диаметра шарика, так что шарик может свободно проскакивать между гвоздиками.
Выйдя из воронки, каждый шарик сталкивается с самым верхним из гвоздиков и отскакивает от него к одному из двух ближайших гвоздиков второго ряда, затем к к одному из двух гвоздиков третьего ряда и т.д. У нижнего края доски сделаны бункеры, куда собираются шарики после всех столкновений с гвоздиками.
Сюда перенести рисю. 45 из кн. Солодовников астр 165.
Направим
ось
вдоль нижнего ребра доски, поместив
начало в центре указанного ребра; за
единицу масштаба примем расстояние
между соседними гвоздиками.
Рассмотрим
траекторию одного из шариков. Обозначим
через
смещение вдоль оси
,
полученное
шариком между первым и вторым
столкновениями с гвоздиками, через
- смещение, полученное между вторым и
третьим столкновениями, и т.д.
Обозначим
через
суммарное смещение, полученное после
прохождения всех рядов гвоздиков.Следовательно,
имеем:
,
где
есть число горизонтальных рядов
гвоздиков.
Каждая
из величин
представляет собой случайную величину,
принимающую только два значения,
и
,
с
равными
вероятностями
Математическое
ожидание каждого
равно
,
а дисперсия
.
Предполагая
число
достаточно большим, получим на основании
центральной предельной теоремы,
примененной к сумме большого числа
одинаково распределенных независимых
случайных величин, что
имеет распределение, близкое к
нормальному, с центром в точке
и средним квадратичным отклонением
.
Если
пропустить через воронку достаточно
большое число
шариков,
то количество шариков, проскочивших в
-
й
бункер (т.е. в бункер с абсциссой
)
будет равно
.
Иначе говоря, кривая, огибающая верхний ряд шариков, должна иметь приближенно уравнение вида
.
Проделав описанный эксперимент, можно убедиться, что кривая, составленная верхними шариками, действительно имеет указанную форму.