2. Распределение Пуассона

Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу Пуассона

(5) ,

где – число появлений события в независимых испытаниях,(среднее число появлений события в испытаниях), и говорят, что случайная величина распределения по закону Пуассона.

Распределения дискретной случайной величины по закону Пуассона имеет вид:

			...		...
P			...		...

где определяются равенствами (1). Ввиду известной формулы

(6) ,

Легко выводится равенство – контроль

.

Для более экономного подсчёта числовых характеристик распределения Пуассона докажем утверждение.

Теорема 9.2.Для производящей функции и вычисления числовых характеристик случайных величин распределённых по закону Пуассона, справедливы следующие формулы

(7) ,

где при постоянное число.

Доказательство. Производящей функцией распределения Пуассона будет иметь вид:

.

Следовательно,

(8) ;

Тогда, из равенств (6) при получим:- контроль. А также

;

Теорема доказана. При решении конкретных примеров из доказанной теоремы следует, что нужно находить лишь один параметр

Этот параметр должен быть сравнительно небольшое постоянное число.

Замечание. Распределение Пуассона отличается от других тем, числовые характеристики определяются одним и тем же параметром. Причем, если на практике (на основании опытных данных) окажется оценки м.о. и дисперсии близки между собой, тоесть основание считать, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Рассмотрим пример (модель) случайного процесса, в котором распределение вероятностей происходят по закону Пуассона.

Представим себе единичный интервал времени, разделений на подинтервалов длиной. Заданную конечную совокупность точек в этом интервале можно рассматривать как результат случайного процесса, при котором каждый подинтервал имеет одну и ту же вероятность равныйтого, что в нём одна или несколько точек совокупности.

Подынтервал является либо занятым, либо пустым, и из предположения о независимости неперекрывающихся интервалов времени вытекает, что мы имеем дело с испытанием Бернулли: вероятность получить ровно занятых подинтервалов равна. Устремляя теперьк бесконечности, мы делаем эту дискретную модель всё более и более точной. При этом вероятность того, что весь интервал вообще не содержит точек, должны стремиться к конечному пределу. Но весь не содержит точек тогда и только тогда, когда ни один подынтервал не занят, а вероятность последнего события равна

Переходя к логарифмам, мы видим, что эта величина стремится к пределу одновременно с Случайневозможен, так как он означал бы в сколь угодно малый интервал попадают бесконечно много точек совокупности. Поэтому для нашей модели неизбежно существует числотакое, чтоВ этом случае вероятность события, имеющий ровнозанятых подинтервалов стремиться к

.

Поскольку мы рассматриваем различные точки, то число занятых в ячейке точек в пределе соответствует числу точек совокупности, лежащих в нашем единичном интервале времени.

Можно эту модель применит и к другим возможным процессам с.м. Феллер т.1, [ ].

В приложениях единичный интервал времени необходимо заменить интервалом произвольной длины . Если опять разделить этот интервал на подинтервалы длины, то вероятностиостаются неизменными, но число подинтервалов равно целому числу, ближайшему к. Переход к пределу будет таким же, только параметрзаменяется на.

Это приводит нас к новой интерпретации величины

(9) , (см. п. 6.2),

эта формула как вероятностная формула означает: имеется ровно точек в фиксированном интервале длины

В частности, вероятность того, что в интервале длины не будет ни одной точки, равна

(10) ,

и, следовательно, вероятность противоположного события (т.е. вероятность иметь одну или несколько точек) равна

О параметре.Параметрнекая физическая постоянная, которая определяет плотность точек на оси Чем больше, тем меньше вероятность (10). Теперь предложим один из методов оценки числа. Предположим, что некоторый физический эксперимент повторяетсяраз (- достаточно большое), и каждый раз подсчитывается число событий, наступивщых в интервале фиксированной длины. Пусть-количество экспериментов, в которых наблюдается ровнособытий. Тогда

(11)

Пусть общее число точек, наблюдаемых в экспериментах, равно Т, а их среднее.

При больших мы ожидаем, что мы ожидаем, что

(12) ;

(Эти формулы лежат в основе всех применений понятия, вероятности и их обоснование даётся в десятой главе Кн. Феллера []). Следовательно, с учётом равенство (7) находим

,

и поэтому

(13) .

Это соотношения даёт нам метод оценки по наблюдениям и способ сравнения выводов с результатами опытов. Основные требования (постулаты) в Пуассоновские процессы следующие:

1.При малых значениях, вероятность того, что иметь более одной точки в области объёма, мала по сравнению с величиной, т.е. вероятность того, за период времени продолжительностьюпроизойдёт, по меньшей мере, одно событие, равна

(14)

(

Вероятность того, что за время произойдёт два или более события, равна, т.е. согласно этому постулату, исключается возможности одновременного наступления события более чем одного раза.

Пространственные распределения Пуассона

Мы рассмотрели распределение случайных событий или точек на оси , но те же самые рассуждения применимы к распределениям точек на плоскости или в пространстве. Только здесь вместо интервалов длиныбудут области – площади или объёмаОсновное предположение состоит в том, что вероятность иметьточек в любой определённой области зависит не от её формы, а лишь от её площади или объёма. При этом сохраняется основные предположения 1. и 2.

Для нахождения вероятности того, что в «области объёма содержится ровнослучайных точек», разобьем эту область наподобластей и в качестве приближения для искомой вероятности возьмём вероятность появленияуспехов виспытаниях. Это означает, что мы пренебрегаем возможностью найти более одной точки в одной и той же подобласти, однако из нашего предположения1.вытекает, что допускаемая погрешность стремиться к нулю приПоэтому в пределе снова получается распределение Пуассона .

Примерами таких распределений: Звёзды в космосе, изюминки в кексе, семена сорняков среди семян злака, дефекты в материалах, перестройка хромосом в клетках, расположение бактерий в клетке крови и т.д., распределены согласно закону Пуассона (см. Феллер ч.1 []).

Следует отметить, что распределение Пуассона в науке теория вероятностей и математической статистике, особенно в теории случайных процессов (см. Гнеденко [] ), занимает важное место. Имеет многочисленные приложения в теории случайных процессов: физике, астрономии, химии, генетике, биологии и в др.