14 Визначення переміщень

Для визначення переміщень точок конструкції використовують формулу Мора:

При обчисленні переміщень для балок і плоских рам двома останніми складниками в наведеній формулі , внаслідок їх малості порівняно з першим, можна знехтувати:

Для визначення переміщення за формулою Мора необхідно виконати наступне:

а) Побудувати епюру моментів в заданій схемі від дії зовнішнього навантаження. Такий стан називається вантажним (стан р). Епюра моментів позначається ;

б) обрати одиничний стан конструкції (стан і) – звільнити конструкцію від заданих навантажень та завантажити її одиничним навантаженням, що діє в напрямку шуканого переміщення і прикладене в точці, переміщення якої визначається;

в) побудувати епюру моментів від одиничного навантаження ();

г) обчислити переміщення за формулою Мора

Основні види переміщень і відповідні види одиничних навантажень наведені в табл.2.

Таблиця 2

Переміщення	Одиничне навантаження
вертикальне переміщення точки А
горизотальне переміщення точки А
кут повороту перерізу в точці А
кут зламу в шарнирі в точці А

Інші види переміщень можуть бути отримані шляхом лінійних комбінацій вищеназваних випадків.

При обчисленні інтеграла Мора підсумовування виконується по окремих ділянках стержнів рами (k – номер ділянки, К – кількість ділянок інтегрування, l_k –довжина ділянки).Кількість ділянок на кожному окремому стержні визначаємо виходячи із форми епюр ітаким чином, щоб на ділянці лінія епюри моментів не мала зламів або стрибків.При сталій жорсткості стержня на згин обчислення інтеграла Мораздійснюється за правилом Верещагіна або за формулою Корноухова–Сімпсона.

Рис. 42. Метод Верещагіна	За правилом Вере­ща­гіна для обчислення інте­­грала необхідно по­мно­жити площу епюри на ординату епюри , що береться під центром тяжіння епюри (рис.42):
Якщо ордината і площа розташовані по один і той самий бік стержня, добуток береться зі знаком “плюс”. Необхідно звернути увагу: принаймні одна з епюр, які перемно­жуються, має бути пря­мо­лінійною; ордината повинна бути взята на прямолінійній епюрі.
Рис. 43.Метод Сімпсона-Корноухова		В інших випадках, коли епюри мають більш складну форму, застосовуємо формулу Корноухова-Сімпсона (рис.43): де індекси "п","с","к" позначають відповідно початок, середину і кінець ділянки.

Якщо відповідні ординати на обох епюрах розташовані по один бік від стержня, перед їх добутком зберігається знак +, якщо по різні сторони стержня - ставиться наявність знаку "–" перед добутком обумовлена розташуванням ординат епюр по різні сторони від вісі стержня.

Приклад

Визначимо вертикальне переміщення т.К балки зображеної на рис.44,а. Балка виготовлена зі сталі Ст.3 для якої модуль пружності , момент інерції відповідає поперечному перерізу у вигляді двотавра №20Б1.

На першому етапі розраховуємо балку на зовнішні навантаження та будуємо епюру моментів(рис.44,б). В п.11 показаний хід розрахунку цієї балки з побудовою зазначеної епюри. На наступному етапі обираємо одиничний стан балки (стані) – звільняємо балку від заданих навантажень та завантажуємо її одиничною вертикальною силою, що діє в напрямку шуканого переміщення і прикладене в точці, переміщення якої визначається (рис.44,в). Знову виконуємо розрахунок балки на дію однієї одиничної сили і будуємо епюру моментів (рис.44,г). Для обчислення переміщення за формулою Мора необхідно епюри тарозбити на ділянки, на яких немає зламів і не змінюється характер епюри. На еп.таких ділянок чотири, а на еп- три (на рис.44,б,г вони показані зверху над епюрами). Для визначення переміщення схеми розбивки двох епюр на ділянки мають бути однаковими. У зв’язку з цим І ділянку на епюрі епвимушено розбиваємо на дві ділянки. Оскільки на ІІІ ділянці епмоменти мають нульові значення і результат перемноження епюр буде рівним нулю остаточно маємо по три ділянки на кожній з епюр (на рис.44,б,г вони показані знизу під епюрами). Для обчислення інтеграла Мора скористаємось методом Сімпсона-Карнаухова. Користуючись властивостями подібності трикутників на ділянках прямолінійних епюр визначаємо початкові,середні та кінцеві значення.

Рис.44

3